Fasa Generalisasi: Oh… Itukah Cara Rupanya Euler Berkomunisasi dan Berkongsi Pemikiran Matematiknya?

Oleh: Dr. Tahir Ahmad 
Felo Persatuan Sains Matematik Malaysia (PERSAMA)
Mantan Profesor di Jabatan Sains Matematik, UTM

Di dalam Majalah Sains   (rujuk artikel menjejaki bibit-bibit pemikiran euler) penulis telah menghuraikan 4 aras abstraksi pemikiran matematik Euler semasa ahli matematik Swiss tersebut bermula menyelesaikan pemasalahan jambatan Konigsberg, Prussia.  Penulis telah memperkenalkan istilah gerak hati, intuisi, inspirasi dan ilmu ilham dalam fasa abstraksi.  Bukan itu sahaja, malahan ahli matematik Perancis yang besar, Jacques Hadamard dalam bukunya yang diterbitkan pada tahun 1954, ‘An Essay on The Psychology of Invention in The Mathematical Field’, telah menerangkan dengan panjang lebar bahawa Helmholtz dan Poincare juga  menggelarkan ia sebagai fenomena iluminasi (phenomenon of illumination) (Rajah 1).

Pada aras 4 abstraksi itulah Euler telah memperkenalkan takrifan graf buat pertama kali.  Penulis namakan abstraksi ini sebagai abstraksi utama atau abstraksi besar kerana dengannyalah, kelangsungan satu disiplin matematik yang baru atau ‘pucuk pohon matematik yang baru’ (rujuk artikel memoir pendek seorang pensyarah matematik) Usai sahaja ditintakan takrifan itu secara rasmi, maka Euler telah memasuki fasa generalisasi (Rajah 2).

Definition 1. A graph G = G (V, E) is defined by a set of V “vertices” also known as “nodes” and a set E of “edges” or “links” where each edge is an ordered pair of vertices.

Menerusi takrifan graf di atas, bermulalah pembinaan ‘kelengkapan matematik.’ oleh Euler untuk menyelesaikan pemasalahan jambatan Konigsberg itu seterusnya.  Keith Devlin ada memberi petunjuk umum akan fasa ini dalam bukunya ‘The Math Gene’ yang pertama kali diterbitkan pada tahun 2000.

“What is the nature of mathematical thought?  What does it feel like to inhabit this symbolic worlds?

I am sure it is not linguistic.  Mathematicians do not think in sentences at least not most of the time.  The precise logical prose you find in mathematical books and papers is an attempt to communicate the results of mathematical thought.  It rarely resembles the thought process itself. … 

When I am faced with a new piece of mathematics to understand or a new problem to work on, my first task is to bring to life the mathematical concepts involved.  It is as if I have been given detailed instructions (including plans and blueprints) to build and furnish a house.  By studying the instructions, I can locate and acquire the necessary materials, fittings, and furnishings, and, step by step, I construct the house. …

Similarly, when I start to think about a new piece of mathematics or am faced with a new mathematical problem, my first task is to build the “house” – a “house” built of abstract mathematical objects, fastened together by abstract logical and structural relationships.  Understanding mathematics is like building the house and thereafter knowing my way around it.”

Itulah yang dilakukan oleh Euler dalam fasa generalisasi iaitu, ‘menghidupkan’ konsep grafnya.  Dengan kata lain, Euler perlu menjana beberapa takrifan atau teorem baru untuk ‘rumah grafnya yang dibina’.  Penjanaan itu mesti  dilakukannya dengan teliti, bertujuan (with purpose) dan sistematik.

Walaubagaimanapun, ramai ahli matematik baru dewasa hari ini terperangkap bilamana memasuki fasa generalisasi; iaitu, mereka sering terjebak ke dalam kancah penjanaan ‘ilmu untuk ilmu’ dan bukan ‘ilmu untuk utiliti’, secara khususnya, penjanaan ‘teorem untuk teorem’ sahaja dan bukannya ‘teorem untuk utiliti’.  Prof. A. L. Samian (1993) telah menyuarakan amaran yang serupa lebih awal lagi.  Pendek kata, penjanaan takrifan-takrifan mahupun teorem-teorem baru yang dilakukan mereka tanpa tujuan yang khusus, tetapi hanya ingin memperbanyakkan bilangannya bagi mengisi ruang tesis ataupun makalah.  Sebaliknya, memperkenalkan takrifan ataupun teorem yang ada tujuannya adalah ibarat ‘pelincir’ bagi membangunkan sesuatu struktur matematik yang baru, atau dengan kata lain ‘pucuk pohon matematik yang baru’.

Artikel Berkaitan – Mengangkasa Angka

Artikel Berkaitan – Memoir Pendek Seorang Pensyarah Matematik

Artikel Berkaitan – Menjejaki bibit-bibit Pemikiran Euler

Artikel Berkaitan – Ulasan Buku: The Theory of (Not Quite) Everything

Berbalik kepada Euler, penulis berfirasat perkara pertama yang mencuri perhatiannya ialah bilangan-bilangan pinggir (edges) bagi tiap-tiap bucu (vertices) graf G(V,E) yang telah dibina (Rajah 3), yakni, setiap bucunya mengandungi bilangan pinggir yang ganjil.  Adalah tidak mustahil ada juga graf-graf lain yang mengandungi bilangan pinggir yang genap pada bucunya.  Namun pada graf jambatan Konigsberg ini, yang menariknya, semua bucu-bucunya mempunyai bilangan pinggir yang ganjil (lihat Jadual 1).  Ini adalah satu penemuan baru untuk Euler ketika itu!

Menyentuh sekejap tentang bezanya di antara penemuan (discovery) dan penciptaan (invention) pula, Hadamard dalam bukunya tadi, awal-awal lagi membezakan di antara keduanya.

“The distinction between these two words is well known: Discovery concerns a phenomenon, a law, a being which already existed, but had not been perceived.  Columbus discovered America: it existed before him; on the contrary, Franklin invented the lightning rod: before him there had never been any lightning rod.”

Begitulah Euler, beliau terpanggil mencipta (invent) satu takrifan baru bagi hubungan di antara bucu dan bilangan pinggir yang tersabit.  Ia diperkenalkan sebagai valensi atau darjah (valency or degree) sesuatu bucu bagi sesuatu graf.

Definition 2.  A valency of a vertex (also known as degree) of a graph is the number of edges that are connected to the vertex, with each loop counting as two edges.

Justeru, bilangan pinggir bagi setiap bucu graf G(V,E) bolehlah ditentukan  oleh Euler menggunakan Takrifan 2 itu (lihat Jadual 1).

Seterusnya, masalah jambatan Konigsberg pada hakikatnya berbunyi  “seseorang  yang melalui 4 keping tanah dan 7 jambatan yang menghubunginya  dengan berjalan  melalui kesemuanya hanya sekali, dan kembali ke tempat asal permulaanya”.  Itu adalah lafaz harfiahnya sahaja…  Namun, lafaz matematiknya (graf) pula ialah, “satu litar (circuit) yang melalui semua pinggiran dan bucu graf hanya sekali sahaja”.  Akhirnya, pernyataan itu dikenali sebagai litar Euler (Euler’s circuit).  Itulah tujuan asal kenapa takrifan litar Euler itu diperkenalkan.  Bagaimanapun, sesuatu penjanamaan takrifan baru matematik, selalunya akan diperakui oleh orang lain dan bukan tuan badan pencipta asalnya.  Begitulah juga penamaan litar Euler ini.

Definition 3.  An Euler circuit is a circuit that uses every edge in a graph with no repeats.

Disebabkan ia sebuah litar, maka secara automatik, laluan tersebut mesti bermula dan berakhir pada bucu yang sama.

Euler kemudian terus terfikir, “Seandainya suatu graf mempunyai litar aku…, laluannya mesti menerusi setiap bucu dan setiap pinggir graf tersebut!!.  Oleh demikian, laluan yang sama boleh juga dibalikkan.  Ini bererti setiap bucu mesti bervalensi sekurang-kurangnya 2 dan jika lebih, ia pasti genap.  Ahoi…. satu konjektur matematik!!” (lihat Rajah 4)

Sekarang ia perlu disahkan secara umum.   Bagaimana? Ya…dengan membuktikannya secara matematik.   Maka terciptalah satu teorem baru oleh Euler yang kurang lebih seperti berikut bunyinya.

Theorem 1:  If a graph has an Euler circuit, then all its vertices must have even valency.

Sebaik sahaja Teorem 1 terbukti, maka usaha Euler untuk menyelesaikan persoalan ribuan tahun itu semakin hampir.  Penulis percaya, cara, dimana dan bagaimana beliau akan mengumumkan penyelesaian tersebut sudah berlegar dimindanya.  Oooops!!!…ada satu lagi keputusan berbentuk korolari (Corollary) yang perlu didedahkan sebelum ahli matematik yang berasal dari Switzerland itu boleh berbuat demikian.

Sekarang lengkaplah segala pembinaan penghujahan Euler untuk  membuktikan tiada penyelesaian bagi masalah jambatan Konigsberg itu.  Beliau sudah yakin dengan penyelesaiaanya.   Tugas terakhirnya ialah untuk menyakinkan masyarakat luar disana pula.  Proses ini dipanggil pengkhususan (specialising).  Sarjana pemikiran matematik, Dumitrascu (2007) ada menyentuh akan perkara ini.

“In the mathematics literature, generalization can be seen as a statement that is true for a whole category of objects; it can be understood as the process through which we obtain a general statement; or it can be the way to transfer knowledge from one setting to different one. … There are studies that researched how to create activities for “awakening of pupil sensitivity to the nature of mathematical generalization and dually, to specialization”…In other  words, how to get students comfortable to see “a generality through the particular” and “the particular in the general.””

Berikutnya, mungkin kurang lebih bagaimana Euler telah berhujah sambil merujuk kepada makalahnya di persidangan Akademi Sains bertempat di St. Petersburg pada tahun 1736!!

“Tuan-tuan sekelian yang saya hormati. Masalah laluan jambatan Konigsberg itu boleh diungkapkan sebagai graf G(V,E) dengan V={a,b,c,d} dan E={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b),(b,d),(a,d),(c,d)} (rujuk Rajah 3). Valensi bagi setiap bucunya telah disenaraikan dalam Jadual 1. Menurut Korolari 1, sebarang graf apa sekalipun yang valensi-valensi bucunya adalah bukan kesemuanya genap; i.e. ada sekurang-kurangnya satu yang ganjil, maka graf tersebut pasti tidak ada litar Euler. Ditakdirkan kesemua valensi bucu-bucu G(V,E) adalah ganjil!  Lantaran itu, Korolari 1 tadi menjamin bahawa ia pasti tidak ada litar Euler.  Apabila ia pasti tidak ada sebarang litar Euler, ini membawa maksud bahawa tiada manusia manapun di atas muka bumi ini yang boleh berjalan melalui 4 keping tanah dan 7 jambatan yang menghubungi bandar Konigsberg itu dengan berjalan  melintasi kesemuanya hanya sekali, dan kembali ke tempat asal permulaanya.  Itulah penghujahan saya tuan-tuan.  Terima kasih!!!”

Penghujahan yang telah disampaikan oleh Euler pada persidangan di St. Petersburg merupakan antitesis buat penduduk-penduduk Konigsberg.  Tetapi ahli matematik Swiss itu berjaya merungkaikan satu pemasalahan ketaksuban penduduk bandar tersebut yang sekian lama.

Secara keseluruhannya, Euler bermula dari pengkhususan (specialising), iaitu, masalah jambatan Konigsberg, kemudian beliau ke fasa generalisasi (generalisation)  dengan pembinaan struktur grafnya  dan kembali semula kepada fasa pengkhususan (specialising) bagi  menyelesaikan masalah jambatan Konigsberg itu (lihat Rajah 5).

Dengan terbitnya makalah Euler itu, maka peserta dipersidangan tersebut, penduduk kota Konigsberg pada tahun 1736, saya dan saudara semua sekarang ini… telah menjadi pelajar Euler walaupun beliau telah lama meninggalkan kita semenjak tahun 1783 lagi!!. 

Oh… itulah cara rupanya Euler berkomunisasi dan berkongsi pemikiran matematiknya selama ini…

Rujukan

J. Hadamard. 1954. An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field, Dover Publication Inc, New York.

K. Devlin. 2000. The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved and Why Numbers Are Like Gossip, Weidenfeld & Nicolson, Great Britain.

L. Samian. 1993. Al Quran Dan Sunnah Dalam Falsafah Sains, Majlis Kolokium Falsafah Sains, UTM.

G. Dumitrascu. 2007. Understanding the Process of Generalization in Mathematics through Activity Theory, International Journal of Learning, Teaching and Educational Research, Vol. 16, No. 12, pp. 46-69.

Kredit Foto : penulis & bbvaopenmind