Keindahan Nombor Fibonacci di Alam Semulajadi

Oleh: Nurisya Mohd Shah, Ph.D
Penyarah Kanan Fizik Teori,
Jabatan Fizik, Fakulti Sains, Universiti Putra Malaysia

Algoritma melalui pemahaman matematik merupakan satu pengoperasian yang mempunyai beberapa aturan lengkap yang perlu dituruti semasa perlaksaan sesuatu operasi bermatematik. Algoritma termasuklah pengoperasian dalam pengiraan, pemprosesan data, dan juga dalam sistem penaakulan secara automatik yang sangat penting dalam bidang sains khususnya dalam bidang pengkomputeran. Perkataan “algorithm” diambil daripada nama ilmuan Islam Parsi, Al-Khwarizmi yang merupakan seorang ahli matematik, astronomi, geografi dan juga seorang ulama yang terkenal pada zamannya.

Algoritma boleh dianggap antara satu cabang matematik yang penting dan menghuni hampir puluhan topik-topik sains, tidak hanya tertumpu kepada bidang matematik seperti, abstrak algebra, algebra berkomputer, geometri, algoritma teori nombor, algoritma berangka dan statistik. Namun termasuk juga bidang fizik, bioinformatik, astronomi, komputer grafik, kriptografi dan banyak lagi.

Pada pandangan kaca mata pembaca umum, algoritma mungkin adalah terma teknikal yang sering dibincangkan secara serius oleh ahli-ahli sains dalam bidangnya, namun algoritma juga menyumbang kepada contoh-contoh luar biasa yang amat berkait rapat dengan unsur alam semesta. Algoritma ini dipanggil algoritma Fibonacci ataupun lebih dikenali sebagai lingkaran Fibonacci (Fibonacci Spiral). Daripada Kamus dewan bahasa dan pustaka “spiral” disebut pilin. Dalam literasi sains pula lingkaran Fibonacci ini turut dikenali sebagai “the Golden Ratio”. Jujukan Fibonacci (Fibonacci sequence) pula telah mendapat perhatian yang meluas terutamanya daripada ahli matematik, artis, pereka dan juga ahli sains sejak berkurun lama. Ia telah terbukti mempunyai kepentingan menerangkan ciri-ciri asas alam semulajadi.

Nombor Fibonacci yang membentuk jujukan Fibonacci diambil namanya daripada seorang ahli matematik Itali iaitu Leonardo Bonacci atau juga dikenali Leonardo of Pisa yang lebih dikenali sebagai Fibonacci (1180 – 1250) atau juga dikenali sebagai “son of Bonacci”. Penyelidikan jujukan nombor seperti nombor Fibonacci sebenarnya telah bermula pada 200 tahun sebelum masihi yang rata-ratanya dipelopori oleh ahli matematik india yang berkait rapat dengan syair Sanskrit. Namun dokumentasi formal (penerbitan koleksi Eropah yang pertama) sistem jujukan nombor, hanya terhasil pada tahun 1202 mengikut sejarah matematik barat, yang mana melalui buku bertajuk Liber Abaci, Fibonacci menyebut tentang jujukan nombor yang mematuhi sistem algoritma tertentu.

Rujukan dari Liber Abaci mengandungi penyelesaian kepada pembiakan arnab yang mana jawapan kepada penyelesaian kepada masalah inilah yang menyumbang kepada terhasilnya nombor  Fibonacci. Masalah pembiakan arnab yang diutarakan oleh Fibonacci berbunyi;

Kirakan berapa pasang arnab akan membiak setiap tahun, bermula dengan sepasang arnab dalam bulan pertama. Kemudian, setiap bulan setiap pasang akan membiak menjadi sepasang arnab lagi. Keadaan ini berterusan secara produktif untuk bulan yang berikutnya hingga cukup setahun.

Jika disenaraikan masalah di atas dalam bentuk jadual. Jujukan Fibonacci akan jelas terhasil. Secara takrifannya jujukan Fibonacci bermula seperti berikut: F_n = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 dan seterusnya hingga ke n nombor. Ini hanyalah algortima yang amat mudah iaitu jujukan yang terhasil berikutnya terdiri daripada hasil tambah dua nombor yang sebelumnya.

“The Golden ratio” yang sering dikaitkan dengan nombor Fibonacci pula ialah penghampiran rasional terhampir dengan nisbah 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 dan seterusnya yang mana ia hanyalah nisbah dari jujukan F_n. Jujukan ini membentuk corak matematik/algoritma yang mudah, namun apa yang terbina sebenarnya ialah sejenis sistem penomboran unik yang terbukti memperihalkan alam semesta. Terdapat beberapa contoh luar biasa yang sering dipaparkan yang mematuhi algoritma jujukan Finobacci. Ini termasuklah melalui bidang seni bina, rupa bentuk tumbuhan, lingkaran galaksi, pembentukan taufan dan banyak lagi.

Senibina Greek secara tidak langsung telah menggunakan sistem “The Golden Rectangle”. Sistem ini ialah binaan segiempat yang mempunyai ukuran panjang sisi 1.618 yang memenuhi corak nombor Fibonacci. Binaan ini secara matematiknya amat menarik dan sering digunakan dalam rekaan bidang seni bina. Contoh binaan kuil  di Athens, Greek yang dikenali sebagai “The Parthenon” menggabungkan nombor Golden Rectangles dalam struktur and dekorasi binaannya. Piramid juga mempunyai perkadaran binaan yang unik. Jika bahagian asas Piramid dikira sebagai satu unit, bahagian sebelah condong ialah 1.618 unit dan tingginya pula mencecah punca kuasa dua 1.618 unit tinggi.

Kini, terdapat banyak gambar-gambar dan lukisan-lukisan yang menggunakan perkadaran yang melibatkan nombor Fibonacci. Seperti yang diterangkan iaitu perkadaran dalam segiempat tepat yang mempunyai dua sisinya ialah nombor Fibonacci. Segiempat tepat berkenaan boleh dipotong kepada segiempat tepat yang lebih kecil saiznya yang juga mempunyai perkadaran nombor Fibonacci antara dua sisinya. Menariknya, banyak koleksi-koleksi seni yang lain turut mengandungi perkiraan perkadaran melibatkan nombor Finobacci.

Jika perkadaran Fibonacci sesuai dengan ruang yang bersegi, bagaimana pula dengan ruang yang melengkung? Untuk pengetahuan, perkadaran nombor Fibonacci yang mempengaruhi ruang melengkung menghasilkan suatu hasil seni yang lebih indah lagi. Contoh yang sering dibincangkan dan sememangnya popular dikenali sebagai “Golden Spiral”. Lingkaran yang mematuhi jujukan Fibonacci ini telah dibuktikan melalui beberapa koleksi seni dan bentuk-bentuk di sekeliling alam semesta. Galaksi bima sakti juga sepadan dengan corak nombor Fibonacci. Ini termasuklah juga bentuk pilin seperti yang terdapat pada bungaan pada kubis bunga, isi nanas dan juga sususan biji pada bunga matahari. Setiap daripada objek ini mengandungi beberapa bijian, floret, pemetaan daun atau turbukel yang sama bilangannya dengan nombor Fibonacci.

Pangkal biji benih

Selalunya benih bunga terhasil dari bahagian tengah bunga dan bercambah keluar untuk berkembang. Ambil contoh bunga matahari.  Pucuk benih akan mula bercambah untuk matang daripada bahagian tengah anak benihnya dan meregang ke arah keluar untuk memenuhi ruang bunga. Jika biji benih ini disimpan satu-satu secara langsung secara bertindan di bawah yang lain, benih tadi akan berhimpit di antara satu sama lain yang seterusnya akan menjejaskan batang bunga untuk menampung keseluruhan benih bunga. Oleh yang demikian biji benih bunga matahari akan matang mengikut corak membulat (bentuk melingkar). Ini bertujuan untuk memastikan benih membesar pada sudut tertentu diantara satu sama lain dan seterusnya berkembang ke arah luar.

Analisis kepada percambahan benih secara melingkar ini adalah seperti berikut. Jika benih bunga menghasilkan empat benih untuk setiap pusingnan lengkap yang melingkar, maka benih yang seterusnya (keempat) akan disimpan di bahagian bawah benih yang pertama. Ini menghasilkan empat baris benih yang menolak ke arah luar. Kaedah ini lebih baik daripada hanya menetapkan secara baris lurus namun masih belum efisyen dalam penggunaan seluruh ruang. Oleh kerana bunga hanya boleh menghasilkan kesemua biji benihnya secara total, maka pusingan sebanyak 1.618 bagi benih adalah yang terbaik dan ini hanya akan terhasil jika benih bercambah secara matang ke arah keluar dengan membuat pusingan yang melingkar dari bahagian tengah bunga.

Pain Kon dan kelopak bunga

Begitu juga dengan biji buah pinecone yang disusun dalam corak pilin (spiral). Setiap kon terdiri daripada sepasang pilin yang akan bercambah ke atas dalam arah yang bertentangan. Bilangan langkah percambahan kon ini akan sepadan dengan turutan pasangan nombor Fibonacci.  Sebagai contoh, kon 8-13 adalah kon yang bertemu setelah mengambilkira lapan selang selari ke arah kiri manakala 13 selang yang menghala ke arah kanan. Begitu juga dengan rupa bentuk tumbuhan cactus aloevera.

Jujukan Fibonacci paling terserlah apabila diperhatikan jumlah nombor kelopak bunga. Contohnya seperti, bunga lily yang mempunyai tiga kelopak, buttercups dengan lima kelopak), chicory (bunga berwarna biru, sejenis tumbuhan Mediterraniana dalam kumpulan daisy. Ia ditanam kerana daunnya boleh dimakan sebagai salad dan mempunyai akar berbentuk lobak) dengan 21 kelopak, bunga daisy dengan 34 kelopak dan seterusnya.

Di dapati, kebanyakan tumbuhan yang mempunyai cabang ranting-ranting yang menghala ke arah sinaran matahari mematuhi sistem nombor Fibonacci. Ini dapat dilihat melalui proses pertumbuhan dan percambahan tumbuhan. Tangkai yang asal yang tumbuh daripada bumi mematuhi beberapa langkah seperti berikut. Pada awalnya, pucuk akan tumbuh keluar, kemudian ia berkembang kepada meristem (tisu tumbuhan yg aktif mem­bahagi dan terdapat pada bahagian pertumbuhan aktif seperti hujung akar, pucuk, dan kambium). Meristem ini merupakan titik-titik cabang baharu yang boleh membentuk dan bercambah kepada dua cabang yang berasingan. Setiap daripada cabang-cabang tumbuhan ini akan bertambah lagi dan proses yang sama ini berlarutan hingga tumbuhan tadi membesar. Contoh terbaik termasuklah sneezewort  (kumpulan bunga daisy) atau nama saintifiknya Achillea ptarmica.

Selain daripada yang disebut diatas, sebenarnya terdapat banyak lagi contoh-contoh lain yang boleh dibuktikan mempunyai padanan yang berkait rapat secara terus dengan nombor Fibonacci. Kita bernasib baik kerana contoh yang telah dikenali ini akan terus bertambah dari masa ke semasa. Malah peluang masih terbuka kepada pengkaji atau penyelidik yang mengkhusus kepada bidang matematik khasnya untuk terus bergerak aktif dalam mencari hubungkait nombor Fibonacci dengan cabang-cabang bidang sains atau bukan sains yang lain. Dan tambah menarik lagi, pada tahun 2014, Sunday Financial Times melaporkan bahawa perkadaran Fibonacci juga boleh dilihat dalam pasaran kewangan iaitu dalam carta mata wang digital bitcoin.