Matematik Di Sebalik Corak Lantai Gereja

Oleh: Ng Yu Nie &  Dr Fatimah Abdul Razak
Jabatan Sains Matematik, Universiti Kebangsaan Malaysia

Pernahkah anda melihat bentuk ini?

Bentuk ini dinamakan segi tiga Sierpiński kerana ia diperkenalkan oleh Wacław Sierpiński (1882-1969). Walaupun ahli matematik Polish tersebut hidup pada abad ke-20, segi tiga Sierpiński telah digunakan dalam reka bentuk lantai gereja di Rom pada abad ke-11 (Conversano dan Tedeschini-Lalli 2011).

Pembentukan segi tiga Sierpiński dilakukan secara berperingkat. Untuk mencapai  Peringkat 1, satu segi tiga sama sisi (Peringkat 0) dibahagi kepada empat bahagian yang bentuknya sama (iaitu bentuk segi tiga sama sisi) dan segi tiga yang di tengah-tengah dibuang (diwarnakan putih). Proses ini kemudian diulangi untuk mencapai Peringkat 2, segi tiga yang lebih kecil (yang berwarna hitam di Peringkat 1) juga akan dibahagi empat dan segi tiga yang tengah akan dibuang dari bentuk ini. Secara matematiknya kita boleh ulang proses ini secara tak terhingga (infinite).

Bayangkan, jika proses ini diulang secara tak terhingga (bahagian putih akan jadi makin banyak). Adakah jumlah luas segi tiga Sierpiński ini akan menjadi sifar (semua putih)? Bilangan segi tiga dalam suatu segi tiga Sierpiński pada peringkat yang lebih tinggi juga menjadi semakin banyak walaupun saiznya semakin kecil. Adakah jumlah panjang sisi segi tiga kecil dalam suatu segi tiga Sierpinski menjadi tak terhingga? Matematik boleh menjawab persoalan ini.

Andaikan panjang sisi suatu segi tiga Sierpiński peringkat  adalah  unit. Menggunakan teorem Pitagoras untuk mencari panjang tinggi bentuk peringkat 0, h:

Di peringkat 0,

Maka, kita perolehi jadual seperti berikut:

Apabila peringkat segi tiga Sierpiński meningkat ( n menjadi lebih besar), jumlah panjang sisi dalam keseluruhan bentuk meningkat. Sebaliknya, luas adalah semakin menurun.

Formula am bagi jumlah panjang sisi dan luas segi tiga Sierpiński peringkat n adalah:

dengan x adalah panjang sisi segi tiga Sierpiński peringkat . (Contreras dan Galvis 2022)

Kesimpulannya, jika proses pembinaan segi tiga Sierpiński diulang secara tak terhingga (infinite), jumlah panjang sisi dalam keseluruhan bentuk tersebut adalah tak terhingga, namun keluasannya adalah sifar.

Menggunakan formula am bagi jumlah panjang sisi segi tiga Sierpiński peringkat ∞ :

Menggunakan formula am bagi luas segi tiga Sierpiński peringkat ∞ :

Walaupun manusia takkan mampu mencapai nilai infiniti, tetapi menggunakan konsep had (limit) kita mampu ketahui nilai di infiniti.

Perhatikan bahawa bentuk dalam Peringkat 1 wujud dalam bentuk Peringkat 2 tetapi pada skala berbeza, bentuk Peringkat 2 wujud dalam bentuk Peringkat 3 pada skala yang lebih kecil dan seterusnya. Ciri sebegini yang mana sesuatu objek adalah betul-betul atau lebih kurang sama dengan bentuk objek tersebut di skala yang berbeza dinamakan sebagai keserupaan kendiri (self-similarity). Bentuk yang memiliki ciri keserupaan kendiri dinamakan “fraktal” yang asalnya adalah perkataan Latin fractus (bermaksud “berpecah-belah” atau “rosak”). Ajaibnya, fenomena alam seperti kepingan salji, DNA dan Romanesko memiliki konsep ini.

Mengapakah bidang matematik perlu memberi takrif kepada konsep fraktal? Bukankah fraktal relevan sebagai visualisasi dalam bidang seni sahaja? Sebenarnya, selain daripada bidang seni, konsep fraktal sering digunakan dalam pelbagai bidang seperti sains komputer, perubatan, kewangan dan sebagainya. Menurut Cristea dan Liarokapis (2015), dalam bidang sains komputer, konsep fraktal dimanfaatkan untuk menjana rupa bumi yang realistik dalam permainan video.

Selain daripada pengurangan saiz penyimpanan data dan muat turun permainan video, fraktal juga berupaya mengurangkan penggunaan memori dalam unit pemprosesan grafik. Dalam bidang perubatan pula, fraktal membantu doktor dalam membuat diagnosis dan merawat penyakit. Sebagai contoh, perubahan dalam bentuk dan kerumitan rangkaian saraf dapat dijumpai pada kanak-kanak yang mempunyai disleksia (Kelshiker 2021) kerana corak fraktal dalam badan manusia mungkin boleh dijadikan sebagai bio-penanda dalam diagnosis penyakit. Banyak lagi kegunaan fraktal yang belum diterokai. Apa yang anda boleh fikirkan?

Artikel Berkaitan – Melandaikan Lengkung Jangkitan Covid-19
Artikel Berkaitan – Ada Apa Dengan Google

Rujukan:

Britannica. (2022). Fractal. https://www.britannica.com/science/fractal [01 Oktober 2022].

Britannica. (2022). Wacław Sierpiński. https://www.britannica.com/science/Sierpinski-gasket [01 Oktober 2022].

Contreras, F., and Galvis, J. (2022). Finite difference and finite element methods for partial differential equations on fractals. arXiv. doi: 10.48550/ARXIV.2201.08433

Conversano, E., and Tedeschini-Lalli, L. (2011). Sierpinsky Triangles in Stone, on Medieval Floors in Rome. Aplimat – Journal of Applied Mathematics, 4, 113.

Cristea, A., and Liarokapis, F. (2015). Fractal Nature – Generating Realistic Terrains for Games. Conference: 2015 7th International Conference on Games and Virtual Worlds for Serious Applications (VS-Games). doi: 10.1109/VS-GAMES.2015.7295776

Kelshiker, A. (2021). How Math Could Save Lives. Dartmouth Undergraduate Journal of Science. https://sites.dartmouth.edu/dujs/2021/03/16/ow-math-could-save-lives/#:~:text=The%20study%20of%20fractals%20in,are%20Fractals%2C%E2%80%9D%20n.d [01 Oktober 2022].

Kredit Foto : quantumfrontiers