Menjejaki bibit-bibit Pemikiran Euler

Oleh: Dr. Tahir Ahmad 
Felo Persatuan Sains Matematik Malaysia (PERSAMA)
Mantan Profesor di Jabatan Sains Matematik, UTM

Pada suatu masa dahulu, pada abad ke 17, terdapat satu bandar di Prussia yang dinamakan sebagai Konigsberg (sekarang dipanggil Kaliningrad, Russia).  Pada asalnya, penduduk bandar Konigsberg ini suka mencuba menyelesaikan satu cabaran yang lama bandar itu yang terdiri dari 4 keping tanah dan 7 jambatan menghubunginya  dengan berjalan  melalui kesemuanya hanya sekali, dan kembali ke tempat asal permulaannya.

Lama kelamaan dari riadah yang santai, ia bertukar kepada cabaran dan kemudian menjadi satu ketaksuban oleh penduduk-penduduknya.  Dari ketaksuban yang tidak berkesudahan, akhirnya, ia mengheret salah seorang ahli matematik yang ulung ketika itu, Leonhard Euler (1707-1783), untuk campur tangan, oh ya…yang sebenarnya ‘campur akal’, untuk meleraikan punca ketaksuban tersebut.  Penulisan kali ini cuba menceritakan bibit-bibit awal bagaimanakah Euler berfikir bagi menyelesaikan persoalan penduduk Konigsberg itu.

Euler merupakan ahli matematik dan fizik Swiss dan salah seorang pengasas matematik tulen.  Priya Narayanan dalam disertasi sarjananya ‘Mathematics Genealogy Networks’ di Oxford pada tahun 2010 telah mendakwa bahawa di samping Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Euler merupakan pengasas matematik moden di Eropah.  Pendek kata, Gauss dan Euler ialah gergasi dan ‘moyang’ salur galur salasilah matematik moden Eropah.

Berbalik kepada masalah jambatan Konigsberg itu, bibit pemikiran matematik Euler bolehlah dinisbatkan dan diperjelaskan melalui 4 aras abstraksi (4 levels of abstraction) yang diutarakan oleh Keith Devlin dalam bukunya ‘The Math Gene’.  Aras-aras yang dimaksudkan di sini adalah seperti berikut.

Aras 1: Objek yang difikirkan adalah nyata dan sememangnya berada dipersekitaran; i.e. tiada sebarang abstraksi berlaku.

Aras 2: Melibatkan objek yang nyata dan biasa kepada pemikir tesebut tetapi tidak pula dipersekitarannya sekarang.

Aras 3: Objek yang berada dalam fikirannya adalah nyata setelah mengetahui akan bentuk rupanya, atau suatu imaginasi akan objek tesebut.  Selalunnya objek dalam aras ini adalah suatu imaginasi yang boleh dihuraikan sebagai objek yang nyata.   Hanya manusia sahaja yang ada kemahiran ini dan bukannya haiwan.

Aras 4: Pemikiran matematik berlaku.  Objek matematik adalah abstrak sepenuhnya.  Tiada kaitan secara langsung dengan dunia yang nyata.

Berhubung dengan masalah Konigsberg, pada aras pertama, Euler sememangnya berkunjung ke Prussia untuk melihat dengan mata kepalanya topografi bandar tersebut.  Apabila sahaja Euler bergerak keluar dari persekitarannya tadi, di dalam mindanya sudah tertanam (embedded) bentuk rupa bandar tersebut. Pemikiran Euler sudah mula terpahat akan persoalan ribuan tahun tentang lauan Konigsberg tadi sebagai sebuah sistem. Pada tatkala ini Euler sudah berada pada aras kedua abstraksi.

“Oh saya akan mewakilkan 7 jambatan sebagai 7 garisan dan 4 kepingan  tanah sebagai 4 plot kawasan yang dikenalpasti”, maka pemikiran Euler sudah masuk ke aras ketiga abstraksi.  Pada aras ketiga ini Euler sedang dalam proses mentransformasikan jambatan —> garisan —> dan kepingan tanah —>plot kawasan, di mindanya mahupun di atas sekeping kertas. Pada saat inilah, Euler ialah satu-satunya manusia di atas dunia ketika itu yang mampu mengambarkan transformasi tersebut.

Pada aras terakhir abstraksi, yakni aras keempat, kesemua transformasi tersebut lengkap dan tamat.  Hanya terpapar 7 garisan dan 4 titik sahaja diminda Euler, kemudian di atas sekeping kertas di hadapannya.

Itulah bibit-bibit awal (abstraksi) pemikiran matematik Euler untuk menyelesaikan masalah jambatan Konigsberg.  Ia adalah satu proses pemikiran dari aras 1 hingga ke aras 4 oleh ahli-ahli matematik apabila mereka berinovatif memperkenalkan sesuatu struktur baru dalam matematik.  Dalam kes ini, Euler ialah ‘bapa teori graf’, manakala Georg Cantor (1845 – 1918) ialah ‘bapa teori set’ dan Lotfi Zadeh (1921 – 2017) ialah ‘bapa teori set kabur’ pula.  Kesemua mereka telah melalui 4 tahap abstraksi yang dinyatakan.

Walaupun proses abstraksi ini boleh dihuraikan dalam 4 aras tersebut, namun  ia bukanlah fasa yang mudah untuk dikuasai.  Pendek kata ia bukanlah perkara yang boleh dilatih-latih.  Ia merupakan suatu intuisi ataupun gerak hati (rujuk S.M. Zain. 1987) ataupun inspirasi (rujuk S.M. Zain. 1995) atau dipanggil sebagai ilmu ilham oleh A.H. Mahmud (1995).

Seterusnya, sebaik sahaja Euler menderafkan dapatan trasformasi beliau dalam aras 4 tadi sebagai graf yang bunyinya kurang lebih seperti berikut;

Definition. A graph G = G (V, E) is defined by a set of V “vertices” also known as “nodes” and a set E of “edges” or “links” where each edge is an ordered pair of vertices.

Maka Eulerpun mula memasuki fasa generalisasi (generalization).  Menerusi takrifan graf di atas, bermulalah pembinaan ‘kelengkapan matematik’ oleh Euler untuk menyelesaikan pemasalahan jambatan Konigsberg itu.  Fasa generalisasi ini sangat penting kerana ia melibatkan pembuktian dan sebagainya yang akan dibincangkan pada lembaran-lembaran selanjutnya, insya-Allah.

ARTIKEL BERKAITAN – Persamaan Euler; Satu Contoh Keindahan Matematik
ARTIKEL BERKAITAN – Apa sebenarnya Ahli Matematik Buat?
ARTIKEL BERKAITAN – Memoir Ringkas Seorang Ahli Matematik

Rujukan

(1) S.M. Zain.  1987.  Pengenalan Sejarah dan Falsafah Sains, Akademi Sains Islam Malaysia (ASASI), UKM.

(2) S.M. Zain.  1995.  Sejarah Perkembangan Matematik Dalam Islam, dalam S. Nordin Sains Menurut Perspektif Islam, DBP, KL.

(3) A.H. Mahmud. 1995.  Islam & Akal, DBP.