Persamaan Euler: Satu Contoh Keindahan Matematik

Oleh: Lukhman Abdul Taib
Pelajar Sarjana Sains (Teoritikal dan Perkomputeran)
Universiti Islam Antarabangsa

Di dalam analisis kompleks, suatu nombor kompleks $z=a+ib$ , di mana $i$ ialah unit khayalan ( $i^2=-1$ ), juga boleh diungkapkan sebagai $z=re^{ix}$ . Sebutan $e^{ix}$ pula boleh diungkapkan menerusi gabungan fungsi-fungsi trigonometri

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

di mana $x$ merupakan input kepada fungsi-fungsi trigonometri di dalam ukuran radian. Rumus ini dikenali sebagai rumus Euler.

Apa yang akan berlaku sekiranya kita meletakkan $x=\pi$ ?

Dengan meletakkan $x=\pi$ , kita akan memperoleh $\cos \pi = -1$ dan $\sin \pi = 0$ . Maka kita akan mendapat persamaan $e^{i\pi} = -1$ . Sudah menjadi amalan kebiasaan di dalam sesetengah bidang di dalam matematik, persamaan tersebut boleh ditulis sebagai

$e^{i\pi} + 1 = 0$

Rumus di atas pula dikenali sebagai persamaan Euler, dan merupakan suatu contoh yang terbaik untuk menggambarkan keindahan matematik. Mengapa sedemikian?

Pertamanya, di dalam identiti tersebut terhimpunnya tiga operasi aritmetik yang dasar: penambahan (+), pendaraban (×), dan pengeksponenan. Dan kedua, dari kaca mata algebra, identiti Euler juga menghimpunkan 5 pemalar dasar di dalam matematik: (i) 0, yang merupakan identiti bagi operasi penambahan; (ii) 1, identiti bagi operasi pendaraban, (iii) nombor $\pi$ ; (iv) nombor Euler $e$ , asas bagi logaritma asli; dan (v) unit khayalan $i$ .

(Nota: Di dalam algebra, suatu objek $a$ dikatakan sebagai identiti jika suatu objek lain $b$ bertindak ke atasnya di dalam suatu operasi dan hasilnya ialah $b$ juga. Misalnya, bagi operasi penambahan, identitinya ialah $a = 0$ , kerana $0+b=b$ . Bagi operasi pendaraban, identitinya ialah $a=1$ , kerana $1 \times b = b$ ).

[Baca- Selamat Hari Pi]

Keith Devlin, profesor matematik di Universiti Stanford, memberikan komentarnya mengenai persamaan Euler: “Seperti sonet Shakespeare yang menangkap intipati sebuah cinta, atau sebuah lukisan yang menonjolkan kecantikan sosok manusia itu sendiri melangkaui batas kulitnya, persamaan Euler ini menjangkaui ke dasar kewujudan itu sendiri.”

Tidak salah sekiranya kita mengatakan: persamaan Euler tidak akan menonjolkan keindahannya tanpa adanya Pi.

Mengapa Perlu Menghitung Nilai Pi?

Ahli-ahli matematik bertungkus lumus menghitung nilai Pi. Bermacam-macam kaedah dan rumus dikeluarkan demi mendapatkan nilai Pi yang paling jitu. Mengapa mereka perlu mendapatkan nilai Pi yang sebegitu jitu?

Di antara sebabnya ialah, di dalam kiraan berangka, digit-digit kecil di dalam Pi membantu dalam meningkatkan kejituan satu-satu kiraan. Semakin banyak digit diperolehi, semakin jitu kiraan tersebut. Misalnya, di dalam kosmologi, 39 digit Pi sangat mustahak untuk mengukur lilitan alam semesta boleh cerap.

Selain itu, pencarian nilai sebenar Pi sudah menjadi suatu benda yang dianggap memberikan kemasyhuran dengan rekod baharu dan memenuhi keghairahan manusia untuk memecahkan rekod yang sedia ada. Saban detik, ada sahaja rekod nilai Pi yang terbaru yang mencecah jutaan digit. Piphilologi (piphilology) merupakan suatu bidang yang membicarakan kaedah-kaedah mnemonik untuk menghafal digit-digit di dalam Pi.

Meskipun demikian, segala hitungan tersebut mempunyai sisi praktikalnya. Pi dijadikan alat untuk mengukur kehebatan superkomputer. Pi juga digunakan untuk menguji algoritma-algoritma di dalam analisis berangka, terutamanya algoritma yang melibatkan pendaraban jitu tinggi. Hitungan nilai Pi juga menjadi data buat ahli-ahli matematik tulen untuk menilai kerawakan (randomness) digit-digit Pi yang, hingga kini, masih menjadi misteri.

Sumber:

1. Keith Devlin, “The most beautiful equation in mathematics”, dalam majalah Wabash Winter/Spring 2002. Pautan: https://www.wabash.edu/magazine/2002/WinterSpring2002/mostbeautiful.html

2. Jörg Ardnt, Christoph Haenel (2006). Pi Unleashed. Terbitan Springer-Verlag.

3. YouTube ‘The Most Beautiful Equation in Math’, https://www.youtube.com/watch?v=IUTGFQpKaPU

Catatan editor: Penulis berkelulusan Ijazah Sarjana Muda Sains Matematik (Kepujian) dari Universiti Islam Antarabangsa

Berikan Komen Anda Di Sini