Bagaimana Geometric Brownian Motion menjinakkan Ketidakpastian dalam Pasaran Kewangan

Penulis: Dr. Mohamed Faris Laham

Pegawai Penyelidik
Institut Penyelidikan Matematik (INSPEM), Universti Putra Malaysia

Pasaran kewangan sering digambarkan sebagai tidak menentu dan sukar diramal. Harga saham boleh melonjak dalam sekelip mata, merudum tanpa amaran, atau bergerak perlahan tanpa arah yang jelas. Bagi pelabur biasa, pergerakan ini kelihatan seperti hasil nasib semata-mata. Namun bagi ahli matematik kewangan, turun naik pasaran bukan sekadar kekacauan, sebaliknya satu fenomena yang boleh dimodelkan dan dianalisis secara sistematik.

Di sinilah peranan matematik stokastik menjadi penting. Salah satu model yang paling berpengaruh dalam bidang ini ialah Geometric Brownian Motion (GBM), satu model matematik yang menjadi asas kepada kejuruteraan kewangan dan sistem kewangan moden yang digunakan di seluruh dunia hari ini.

Dari Fenomena Fizik ke Model Kewangan Kuantitatif

Asal-usul idea GBM tidak bermula di pasaran saham, tetapi dalam dunia sains. Pada abad ke-19, ahli botani Robert Brown memerhatikan pergerakan rawak zarah-zarah kecil dalam cecair (Genthon, 2020). Pergerakan ini kelihatan tidak teratur, namun mempunyai ciri statistik tertentu. Pemerhatian ini kemudiannya dirumuskan oleh ahli matematik sebagai pergerakan Brownian, satu proses rawak yang kini menjadi konsep asas dalam teori kebarangkalian (Hida, 2008).

Apabila ahli ekonomi dan ahli matematik kewangan mencari cara untuk memodelkan pergerakan harga aset, mereka mendapati persamaan yang menarik. Harga saham juga bergerak secara rawak, dipengaruhi oleh pelbagai faktor yang tidak dapat diramalkan sepenuhnya.

Namun, tidak seperti zarah fizikal, harga saham mempunyai satu ciri penting, iaitu berubah secara relatif atau peratusan, bukan secara mutlak. Maka lahirnya Geometric Brownian Motion daripada pemerhatian ini. Model ini menyesuaikan pergerakan Brownian klasik dengan sifat harga aset kewangan, memastikan harga kekal positif dan mencerminkan realiti pasaran (Geman, 2009).

Walaupun GBM sering ditulis dalam bentuk persamaan matematik, idea asasnya sebenarnya mudah difahami. Model persamaan pembezaan stokastik ini menganggap bahawa perubahan harga terdiri daripada dua komponen utama. Pertama ialah kecenderungan jangka panjang atau trend, yang mewakili pertumbuhan ekonomi, prestasi syarikat, atau sentimen pasaran secara keseluruhan. Kedua ialah unsur rawak, yang mencerminkan berita, spekulasi, dan kejutan yang tidak dapat dijangka.

Gabungan kedua-dua elemen ini menghasilkan laluan harga yang sentiasa berubah dan sukar diramal secara tepat, tetapi masih boleh dianalisis dari segi kebarangkalian. Inilah kekuatan GBM, walaupun ia tidak cuba meramal masa depan secara tepat, tetapi menyediakan rangka untuk memahami risiko dan kemungkinan.

Revolusi Kewangan Moden dan Had Model.

Peranan GBM menjadi sangat penting pada tahun 1970-an dengan kemunculan model Black–Scholes (1973) bagi penetapan harga opsyen. Model ini mengandaikan bahawa harga aset asas mengikuti Geometric Brownian Motion. Daripada andaian ini, satu formula matematik dapat diterbitkan untuk mengira harga opsyen secara konsisten.

Impaknya sangat besar. Pasaran derivatif yang sebelum ini bergantung kepada anggaran dan intuisi mula beralih kepada pendekatan berasaskan matematik. Sejak itu, GBM menjadi asas kepada pelbagai sistem kewangan berkomputasi, daripada perisian penetapan harga hinggalah kepada platform simulasi pasaran.

Dalam dunia kewangan, memahami risiko adalah sama penting dengan mencari keuntungan. GBM memainkan peranan penting dalam pengurusan risiko dengan membantu penganalisis menganggarkan taburan harga masa hadapan. Melalui simulasi berasaskan model ini, institusi kewangan boleh menilai kemungkinan kerugian ekstrem dan menetapkan langkah perlindungan yang sesuai.

Konsep seperti Value at Risk (VaR), yang digunakan secara meluas oleh bank dan firma pelaburan, banyak bergantung kepada model pergerakan harga yang berasaskan proses stokastik (Muhaimin & Trimono, 2023). Walaupun tidak sempurna, GBM memberikan titik rujukan yang jelas untuk menilai risiko secara kuantitatif.

Dalam era digital, kewangan semakin bergantung kepada pengkomputeran. Strategi perdagangan algoritma, misalnya, perlu diuji secara menyeluruh sebelum digunakan di pasaran sebenar. GBM menyediakan model asas untuk menjana data harga sintetik dan menilai prestasi strategi di bawah pelbagai senario seperti COVID-19 (Fitri et al., 2021). Bagi penyelidik dan pengamal, model ini bukan jawapan muktamad, tetapi alat asas yang membolehkan eksperimen dan penilaian dilakukan secara sistematik.

Walaupun digunakan secara meluas, GBM bukanlah gambaran sempurna realiti pasaran. Model ini mengandaikan volatiliti yang tetap dan perubahan harga yang berterusan, sedangkan pasaran sebenar sering mengalami kejutan mendadak dan perubahan rejim. Krisis kewangan dan peristiwa geopolitik besar sering mencabar andaian asas model ini. Namun, limitasi ini tidak menafikan kepentingan GBM. Sebaliknya, ia mengingatkan kita bahawa setiap model adalah penyederhanaan realiti, dan nilai sebenar terletak pada kefahaman terhadap andaian dan batasannya.

Kesimpulan

Geometric Brownian motion membuktikan bahawa konsep matematik yang lahir daripada kajian zarah boleh berkembang menjadi alat penting dalam memahami pasaran kewangan global. Ia menjadi jambatan antara teori dan aplikasi, antara ketidakpastian dan pengukuran risiko.

Model ini menunjukkan bahawa di sebalik turun naik pasaran yang kelihatan rawak, terdapat usaha berterusan untuk memahami dan mengurus risiko secara rasional. Justeru, bagi dunia kewangan moden, GBM kekal sebagai salah satu asas penting dalam usaha menjinakkan ketidakpastian melalui matematik.

Kredit foto utama-analyticsvidhya

Rujukan:

Genthon, A. (2020). The concept of velocity in the history of Brownian motion: From physics to mathematics and back. The European Physical Journal H, 45(1), 49-105.

Hida, T. (2008). Scientific works by Wiener and Lévy after Brown. Collective dynamics: topics on competition and cooperation in the biosciences, 1028, 1-10.

Geman, H. (2009). Stochastic clock and financial markets. In Handbook of Numerical Analysis (Vol. 15, pp. 649-663). Elsevier.

Black, F., & Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of political economy, 81(3), 637-654.

Fitria, I., Handayati, K. N., & Hasanah, P. (2021, March). The application of Geometric Brownian Motion in stock forecasting during the coronavirus outbreak in Indonesia. In Journal of Physics: Conference Series (Vol. 1821, No. 1, p. 012008). IOP Publishing.

Muhaimin, A., & Trimono, T. (2023). Stock Price Modeling with Geometric Brownian Motion and Value with Risk PT Ciputra Development TBK. Nusantara Science and Technology Proceedings, 177-186.