Taburan hukum-kuasa: Ketakseimbangan yang teratur

Penulis:  Prof. Madya Dr. Nurulkamal Masseran
Pensyarah Kanan
Jabatan Sains Matematik, Universiti Kebangsaan Malaysia

Pernahkan anda terfikir mengapa terdapat sebahagian bandar boleh berkembang dengan sangat cepat, namun kebanyakan bandar-bandar lain pengembangannya adalah lambat dan sebahagian besarnya akan kekal sebagai bandar-bandar yang kecil. Keadaan ini membentuk jurang ketakseimbangan yang sangat ketara antara bandar besar dengan bandar-bandar kecil. Namun, ketakseimbangan ini sebenarnya berlaku dalam keadaan teratur menerusi pelbagai faktor yang saling mempengaruhi. Sebagai contoh, suatu bandar yang besar pastinya mempunyai pelbagai kemudahan, perkhidmatan, peluang perniagaan dan peluang pekerjaan yang lebih luas. Keadaan ini secara tidak langsung akan menarik lebih banyak penghijrahan manusia dan menjadikan populasi bandar tersebut semakin berkembang. Populasi yang semakin berkembang akan memerlukan keperluan hidup yang lebih baik dan permintaan yang lebih tinggi dalam segala bentuk aspek kehidupan. Sekaligus, ianya membuka ruang yang lebih besar terhadap peluang perniagaan dan pekerjaan yang lebih banyak, disamping keperluan yang lebih tinggi terhadap pelbagai kemudahan dan perkhidmatan. Manakala, keadaan bagi bandar kecil adalah sebaliknya. Senario ini akan terus berkembang dari semasa ke semasa sehingga bandar yang besar akan terus berkembang menjadi bandar mega yang akan jauh meninggalkan bandar-bandar kecil dalam jurang yang semakin melebar.

Dalam senario yang lain pula, anda mungkin pernah mendengar ungkapan “orang kaya semakin kaya”. Fenomena ini bukanlah terjadi secara kebetulan ataupun secara rawak. Sebaliknya ianya berlaku menerusi mekanisme berstruktur dan teratur yang banyak memihak kepada golongan kaya. Sebagai contoh, golongan kaya umumnya akan lebih mudah untuk mendapat akses terhadap pelbagai sumber yang lebih berkualiti, peluang yang lebih luas, serta layanan yang lebih istimewa dalam segala aspek. Ini termasuklah rangkaian keluarga dan kenalan individu-individu berpengaruh, peluang-peluang perniagaan yang lebih berdaya saing, teknologi-teknologi yang lebih terkini dan terkehadapan, modal yang besar dan lain-lain perkara yang tidak dinikmati oleh golongan miskin dan sederhana. Keadaan ini secara tersiratnya membentuk sistem persaingan dalam “padang yang tidak sama rata” bagi kelas-kelas kelompok sosial yang berbeza. Oleh itu, tanpa gangguan atau intervensi luar, mekanisma ini secara berterusan akan membentuk taburan kekayaan yang sangat tidak seimbang antara golongan mahakaya dengan golongan sederhana dan miskin.

Selain itu, kita seringkali melihat keberlakuan krisis ekonomi global yang berulang dalam tempoh tertentu telah memberikan impak yang besar terhadap ekonomi dunia. Krisis ekonomi yang bersifat kritikal ini jarang-jarang berlaku, malah ianya mengambil masa yang agak lama untuk terjadi dari suatu krisis dengan krisis yang seterusnya. Namun, keberlakuan krisis ekonomi yang kritikal ini bukanlah berlaku secara kebetulan atau secara rawak. Ianya terjadi menerusi interaksi pelbagai faktor-faktor terkait. Ini kerana, kebiasaannya gangguan dan masalah ekonomi akan berlaku pada skala kecil, namun ianya terjadi secara berulang-kali. Mekanisma ini berlaku secara teratur dari semasa ke semasa sehinggalah mencapai tahap “genting” yang membawa kepada berlakunya krisis ekonomi global. Taburan tingkah-laku data krisis ekonomi ini menunjukkan ketakseimbangan antara kekerapan dan impak yang dibawa antara peristiwa-peristiwa krisis ekonomi yang kecil berbanding dengan krisis ekonomi besar.

Selain daripada tiga fenomena tersebut, terdapat banyak lagi fenomena-fenomena lain yang memiliki tingkah laku sebegitu. Fenomena dengan tingkah laku sebegitu sebenarnya telah diungkap menerusi konsep fizik dan teori matematik yang dikenali sebagai hukum-kuasa. Manakala, adaptasi lanjutan dalam bidang statistik bagi tujuan analisis data dan penilaian risiko telah diungkap menerusi taburan hukum-kuasa.

Apakah itu taburan hukum-kuasa?

Dalam senario yang biasa, kita biasanya menganggap kebanyakan peristiwa adalah berkisar dalam norma tertentu dan hanya sekali-sekala akan wujud peristiwa yang bersifat ekstrem dan menyimpang dari norma. Sebagai contoh, ketinggian kebanyakan orang adalah hampir dengan ketinggian purata, dan orang yang sangat tinggi atau sangat rendah merupakan kes yang jarang berlaku. Senario sebegini umumnya boleh dijelaskan menerusi bentuk lengkung loceng simetri dari fungsi taburan Normal. Namun, terdapat suatu fenomena lain yang dikenali sebagai hukum-kuasa (power-law) yang memiliki sifat taburan data  tidak seimbang dari segi nilainya dengan bentuk lengkung tak simetri yang pincang ke kanan (lihat Rajah 1).

Taburan hukum-kuasa mencirikan ketakseimbangan yang ekstrem dengan hanya sebahagian kecil titik-titik data yang menggambarkan hanya beberapa peristiwa, item, individu atau apa-apa entiti dikesan mempunyai magnitud nilai yang sangat besar berbanding majoriti kelompok lain yang terpisah jauh dan mempunyai nilai magnitud yang kecil. Selain itu, ciri penting lain bagi taburan hukum kuasa ini ialah sifat skala tak-varians (scale invariance) yang menggambarkan tingkah-laku fraktal. Iaitu, jika kita menyelidiki corak bagi bentuk lengkung taburan hukum-kuasa ini dalam skala yang berbeza, kita akan mendapati coraknya adalah kelihatan hampir sama pada mana-mana skala yang berbeza.

Taburan hukum-kuasa dalam konteks Statistik

Taburan hukum-kuasa memiliki sifat yang sangat unik berbanding taburan-taburan statistik yang lain. Disamping sifat skala-tak varians dan ekor-panjang, taburan hukum-kuasa tidak boleh digunakan secara sembarangan untuk mencirikan tingkah-laku data seperti titik tengah (sukatan memusat) dan variasi data. Ini kerana, jika nilai parameter kuasa (alfa) adalah kurang atau sama dengan 2, nilai sukatan memusat (purata) adalah tidak wujud serta tidak munasabah untuk tafsiran berkaitan tingkahlaku norma data. Malah, jika nilai parameter kuasa adalah kurang atau sama dengan 3, nilai sisihan piawai juga adalah tidak wujud dan tidak munasabah untuk tafsiran berkaitan variasi data. Namun, seperti yang kita sedia maklum, dalam bidang statistik ukuran purata dan sisishan piawai merupakan ukuran yang sangat penting untuk menghuraikan ciri-ciri suatu data. Oleh itu, fenomena hukum-kuasa ini telah membuka dimensi baharu tentang bagaimana ahli statistik dan saintis data perlu melihat tingkah-laku data dengan perfektif yang berbeza bagi tujuan mencungkil maklumat yang bermakna dan tepat.

Selari dengan itu, ahli matematik dan ahli statistik seluruh dunia telah berusaha membangunkan pelbagai kaedah untuk mengesan kewujudan tingkah-laku hukum kuasa ini dalam konteks data empirik. Pendekatan seperti plot Log-Log, anggaran kebolehjadian maksimum dan ujian kebagusan penyuaian telah digunakan secara meluas untuk mengesan kewujudan tingkah-laku hukum kuasa dalam pelbagai data dunia nyata. Penentuan kewujudan tingkah-laku hukum kuasa ini sangat penting kerana ianya mempunyai implikasi yang mendalam tentang bagaimana kita dapat memahami dengan baik ciri-ciri suatu sistem yang kompleks, sekaligus membantu kita untuk mengurus keberlakuan fenomena ekstrem atau taburan tak seimbang dengan lebih berkesan.

Mekanisma yang menjana fenomena hukum-kuasa

Bagi sebarang fenomena yang dikesan mempunyai taburan hukum-kuasa, maka adalah lebih bermakna untuk mengenalpasti apakah mekanisma yang menjana tingkah-laku hukum-kuasa itu. Seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1, taburan hukum-kuasa mempunyai bentuk taburan yang pencong ke kanan, ekor-panjang dan ekor-berat. Ciri-ciri ini menggambarkan ketakseimbangan dari segi nilai pemboleh ubah yang terlibat dan juga pengaruh kewujudan nilai ekstrem terhadap keseluruhan taburan data. Ciri seperti ini juga wujud dalam taburan kebaranglian lain seperi taburan lognormal dan taburan eksponen. Namun, apa yang membezakan taburan hukum-kuasa dengan taburan-taburan statistik lain adalah mekanisma tersirat yang secara teratur boleh menjana tingkah-laku fraktal yang sekaligus membentuk sifat skala-tak varians. Seperti yang diterangkan menerusi dua fenomena hukum-kuasa berkaitan “bandar besar” dan “golongan kaya”, fenomena ini bukanlah terjadi secara kebetulan atau secara rawak. Sebaliknya ianya terjadi secara teratur yang melibatkan pelbagai faktor yang saling berinteraksi. Bagi menghuraikan fenomena hukum-kuasa ini secara saintifik, para penyelidik diseluruh dunia telah menyelidiki apakah mekanisma yang menjana tingkah-laku hukum-kuasa ini. Antaranya mekanisma yang popular berkaitan tingkah-laku hukum-kuasa ialah:

1-Mekanisma Lampiran Keutamaan (Preferential Attachment)

Mekanisma lampiran keutamaan merupakan konsep yang banyak digunakan dalam bidang sains rangkaian untuk menjelaskan bagaimana nod-nod baharu dalam suatu sistem rangkaian adalah lebih cenderung untuk berhubung dengan nod-nod yang memiliki sisi-sisi pautan yang lebih padat berbanding nod-nod lain. Iaitu, kebarangkalian setiap nod untuk menerima pautan baharu adalah berkadar dengan ukuran darjah kepusatannya. Kajian oleh ahli fizik Amerika iaitu Albert-László Barabási dalam memetakan rangkaian web sedunia (World Wide Web) merupakan antara kajian yang popular yang mengesahkan mekanisma ini. Mekanisma ini memiliki bersifat skala-tak varians. Sebagai contoh, bagi suatu sistem rangkaian yang memenuhi sifat ini, tidak kiralah sama ada suatu nod dalam sistem rangkaian memiliki 10 atau 10,000 sisi pautan, kadar pertumbuhannya akan kekal berkadar dengan saiz semasanya. Secara tidak langsung, sifat ini secara semula jadi membawa kepada tingkah-laku taburan hukum-kuasa. Oleh itu, jika kita anggap nod dengan sisi pautan yang padat ini sebagai “golongan kaya”, maka secara jelas kita dapat membayangkan rasional disebalik senario mengapa “orang kaya menjadi semakin kaya” boleh berlaku secara teratur dari masa ke semasa.

2-Mekanisma Kegentingan Tersusun-Kendiri (Self-Organized Criticality (SOC))

Mekanisma ini diusulkan oleh ahli fizik Denmark iaitu Per Bak dan rakan-rakan kolaborasi beliau. Mereka menggunakan idea yang mudah untuk mengambarkan mekanisma kegentingan tersusun-kendiri ini berdasarkan model timbunan pasir. Iaitu jika kita menambah amaun pasir secara secara sedikit demi sedikit terhadap suatu timbunan pasir, pada suatu ketika, timbunan pasir itu akan mencapai cerun “genting” tertentu dan mengakibatkan runtuhan pasir berlaku dalam pelbagai skala magnitud, sama ada gelongsoran pasir kecil ataupun runtuhan pasir yang lebih besar. Taburan saiz runtuhan pasir ini adalah memenuhi tingkahlaku taburan hukum-kuasa. Mekanisma ini jelas menggambarkan senario keberlakuan fenomena krisis ekonomi global seperti yang diterangkan sebelum ini yang mana gangguan dan masalah ekonomi kecil berlaku dari semasa ke semasa sehinggalah mencapai tahap “genting/kritikal” yang akhirnya membawa kepada berlakunya krisis ekonomi global.

3-Mekanisma Proses Berdaraban (Multiplicative Processes)

Proses berdaraban pada asalnya merupakan proses yang menjana taburan Lognormal. Sebagai contoh, pulangan saham yang terkumpul dengan mengambil kira faktor dividen tahunan yang diperolehi dalam suatu tempoh masa tertentu merupakan mekanisma proses berdaraban. Namun, jika proses berdaraban ini memiliki kekangan nilai ambang tertentu terhadap entiti yang dicerap, ianya boleh membentuk mekanisma yang menjana taburan hukum-kuasa.

Selain itu, terdapat beberapa lagi mekanisma-mekanisma lain yang juga boleh menjana tingkah-laku hukum-kuasa, namun ianya adalah lebih kompleks untuk dihuraikan. Di sini, peranan ilmu fizik, matematik dan statistik hanyalah sebagai alat untuk memahami dan merungkai kewujudan tingkah-laku hukum-kuasa dalam pelbagai aspek kehidupan manusia. Sama ada tingkah-laku hukum-kuasa dalam fenomena tertentu itu membawa kepada kebaikan atau keburukan, ianya bergantung kepada kebijakan manusia untuk menguruskannya. Ianya bukanlah fenomena yang berlaku secara mutlak tanpa boleh dikawal selia. Seperti ungkapan “Hukum alam itu tetap, namun manusia bebas memilih cara menanggapinya”.

[ARTIKEL LAIN DARI PENULIS – Peranan Jarak Dalam Memahami Tingkahlaku Data]
[ARTIKEL LAIN DARI PENULIS – Dilema Data Pencil]
[ARTIKEL LAIN DARI PENULIS – Mengapa Taburan Normal Begitu Popular?]

Rujukan:

Barabási, A. L. (2001). The physics of the Web. Physics World, 14(7), 33.

Buchanan, M. (2008). Laws, power laws and statistics. Nature physics, 4(5), 339-339.

Clauset, A., Shalizi, C. R., & Newman, M. E. (2009). Power-law distributions in empirical data. SIAM review, 51(4), 661-703.

Eliazar, I. (2020). Power laws: A Statistical Trek. Springer International Publishing.

Kahle, S. (2011). Preferential attachment. In Encyclopedia of social networks (Vol. 2, pp. 719-720). SAGE Publications, Inc

Pinto, C. M., Lopes, A. M., & Machado, J. T. (2012). A review of power laws in real life phenomena. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17(9), 3558-3578.

Turcotte, D. L. (1999). Self-organized criticality. Reports on progress in physics, 62(10), 1377.