Simulasi Monte Carlo: Merungkai Kerumitan menerusi Kerawakan

Penulis:  Prof. Madya Dr. Nurulkamal Masseran
Pensyarah Kanan
Jabatan Sains Matematik, Universiti Kebangsaan Malaysia

Bagi kebanyakan orang, apabila mendengar perkataan rawak, kebiasaannya mereka akan membayangkan sesuatu perkara yang bersifat rambang, tidak tentu arah, dan penuh dengan unsur ketidakpastian. Namun, bagi penyelidik-penyelidik dalam bidang sains, kejuruteraan dan juga kewangan, konsep kerawakan ini merupakan suatu anugerah yang sangat bernilai. Ianya merupakan “pintu” yang boleh membuka penyelesaian terhadap pelbagai masalah yang kompleks dan rumit. Terutama apabila permasalahan yang dihadapi itu tidak dapat diselesaikan menerusi kaedah analitik. Salah satu teknik popular yang menggunakan pendekatan kerawakan untuk merungkai pelbagai kerumitan ialah kaedah simulasi Monte Carlo. Secara mudahnya, kaedah simulasi Monte Carlo ini menggunakan teknik persampelan rawak untuk memberikan penyelesaian penghampiran terhadap masalah-masalah yang yang kompleks terutama apabila melibatkan model atau persamaan matematik aras tinggi.

Kaedah Monte Carlo ini mula dipelopori oleh ahli fizik Itali-Amerika iaitu Enrico Fermi pada sekitar tahun 1930-an semasa beliau menjalankan kajian berkaitan neutron. Namun, disebabkan kekangan teknologi komputer pada masa tersebut, beliau hanya menjalankan simulasi secara manual menggunakan kalkulator dan pembaris slaid. Disebabkan kekangan itu, kaedah ini sukar untuk diaplikasikan dalam kebanyakan permasalahan. Malah, Fermi sendiri tidak mempopularkan kaedah Monte Carlo secara meluas, sekaligus menjadikan kaedah ini kurang mendapat sambutan pada masa tersebut. Namun, pada tahun 1946, iaitu semasa era zaman Perang Dunia Kedua, kaedah Monte Carlo ini telah membawa suatu lonjakan paradigma dalam dunia penyelidikan sains. Ianya bertitik tolak daripada Projek Manhattan yang merupakan projek penyelidikan berkaitan bom atom yang dijalankan oleh ahli fizik/matematik Poland iaitu Stanislaw Ulam. Secara ringkasnya, dalam penyelidikan tersebut, beliau menghadapi kesukaran untuk memahami tingkah-laku resapan neutron dalam tindak balas nuklear yang melibatkan sejumlah besar zarah. Formula fizik bagi tindak balas nuklear ini adalah sangat sukar untuk diselesaikan secara analitik. Namun, Ulam telah mendapat ilham untuk menyelesaikan permasalahan ini menggunakan pendekatan rawak menerusi konsep kebarangkalian daripada permainan solitaire (kad terup). Seterusnya, beliau telah berkerjasama dengan tokoh ahli matematik/fizik iaitu John von Neumann, dan mereka telah berjaya membangunkan algoritma berasaskan nombor rawak untuk menjana proses rawak bagi mendapatkan penghampiran terhadap penyelesaian masalah tersebut. Sebahagian sumber menyebut bahawa nama “Monte Carlo” dipilih sempena nama kasino Monte Carlo yang terletak di negara Monaco disebabkan tabiat bapa saudara Stanislaw Ulam yang gemar berjudi.

Meskipun pada asalkan kaedah simulasi Monte Carlo ini lahir dalam senario yang sangat berkontroversi yang melibatkan penyelidikan era zaman perang, penciptaan bom atom dan dikaitkan pula dengan nama tempat perjudian. Namun, tanpa kita sedari kaedah simulasi Monte Carlo ini sebenarnya telah banyak mempengaruhi segenap aspek kemajuan kehidupan moden kita pada hari ini.

Statistik, Hukum Nombor Besar dan Persampelan Rawak

Secara teknikalnya, simulasi Monte Carlo merangkumi proses penjanaan sampel atau proses rawak untuk menyelesaikan masalah yang tidak dapat diselesaikan secara analitik atau tidak mempunyai penyelesaian bentuk-tertutup (closed-form solution). Walaupun terasnya adalah berpaksikan kepada konsep kerawakan, namun output yang dijana pada akhirnya bukanlah hanya satu tekaan yang melulu. Ini kerana, ilmu bidang statistik yang menekankan konsep Hukum Nombor Besar (Law of Large Numbers) merupakan sandaran penting yang menjamin keabsahan output yang dihasilkan oleh kaedah simulasi Monte Carlo ini. Berdasarkan Hukum Nombor Besar, jika suatu ujikaji diulang berkali-kali dalam bilangan yang sangat besar, purata bagi output yang terhasil secara prinsipnya akan menghampiri nilai sebenar. Keyakinan terhadap prinsip ini juga boleh dinilai menerusi konsep penumpuan yang membolehkan kita lebih yakin bahawa output yang terhasil sememangnya mencapai tahap ketepatan yang wajar. Selain itu, tiga “tiang seri” yang menjadi tonggak dalam simulasi Monte Carlo ialah:

i) Pensampelan rawak:

Hukum Nombor Besar menekankan berkenaan konsep “ulangan ujikaji”. Namun, dalam realiti sebenar, adalah mustahil untuk kita menjalankan ujikaji yang sama secara berulang kali dalam bilangan yang banyak. Oleh itu, apa yang dibuat oleh simulasi Monte Carlo ialah ianya mencuba untuk meniru “kelakuan” suatu sistem atau fenomena dan seterusnya menjana pensampelan rawak secara berulang kali dalam bilangan yang besar terhadap fenomena yang ditiru itu.

ii) Anggaran:

Sampel rawak yang dijana akan menggambarkan semua kemungkinan yang boleh terjadi dalam fenomena tertentu. Namun apa yang menjadi fokus utama adalah senario-senario yang paling kerap berlaku yang menggambarkan norma utama bagi fenomena tersebut. Di sini, anggaran terhadap sebarang formula atau ukuran-ukuran matematik/statistik yang dikaji boleh secara mudah dihitung menerusi sampel rawak yang terpilih.

iii) Pengoptimuman

Simulasi Monte Carlo juga merupakan alat yang ampuh untuk mendapatkan penyelesaian terbaik terhadap fungsi objektif yang rumit. Dengan memperkenalkan unsur rawak secara buatan, kaedah Monte Carlo umumnya berupaya untuk menangani masalah kekangan optimum setempat (local optima). Terutama bagi kes-kes yang mana algoritma berketentuan (deterministic) mungkin terperangkap dalam penyelesaian “kurang baik” yang akan menyebabkan ianya gagal untuk meneroka ruang carian yang lebih luas dalam mencari penyelesaian global terbaik.

Aplikasi Simulasi Monte Carlo dalam Dunia Sebenar

Simulasi Monte Carlo pada masa kini merupakan alat yang sangat berguna untuk mengurus ketidakpastian dalam pelbagai aspek kehidupan. Ianya boleh diibaratkan seperti “mesin masa” yang membolehkan kita melihat pelbagai kemungkinan yang mungkin berlaku dan seterusnya membantu kita membuat keputusan secara lebih berasas. Umumnya, aplikasi kaedah ini merangkumi dua kerangka berikut:

i) Kerangka Rawak Semulajadi:

Simulasi Monte Carlo digunakan untuk memodelkan sistem yang sememangnya rawak. Sebagai contoh, sistem aliran trafik dalam rangkaian jalan raya yang berselirat, tingkah-laku neutron dalam fizik nuklear, perubahan dinamik pasaran saham, dan lain-lain.

ii) Kerangka Rawak Buatan:

Dalam kerangka ini, unsur rawak diperkenalkan secara sengaja untuk menyelesaikan masalah dalam sistem berketentuan. Iaitu, sistem yang mempunyai mempunyai penyelesaian yang tetap, namun penyelesaianya adalah sukar diperolehi secara langsung. Contoh yang paling mudah ialah berkaitan penyelesaian terhadap kamiran fungsi matematik dimensi tinggi yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Walaupun populariti kaedah Monte Carlo ini bermula daripada projek penyelidikan bom atom, namun ianya telah berkembang menjadi tulang belakang dalam pelbagai penyelidikan sains moden pada hari ini. Pengaruh kaedah Monte Carlo boleh dikatakan telah melimpah keluar dari makmal senjata nuklear kepada hampir setiap aspek kehidupan manusia. Antara contoh aplikasi kaedah Monte Carlo pada era kini:

i- Kecerdasan Buatan: Membolehkan algoritma membuat keputusan dalam pelbagai input yang tidak menentu.

ii- Kewangan: Digunakan untuk memodelkan kemeruapan pasaran saham dan menilai risiko dalam pelaburan yang kompleks.

iii- Perubatan dan Kesihatan: Membantu dalam pemodelan penyebaran penyakit dan perancangan rawatan radioterapi.

iv- Pembuatan dan Pengangkutan: Mengoptimumkan sistem logistik dan rantaian bekalan.

Kemajuan Teknologi Komputer Lebih Memaknai Kerawakan

Selari dengan kemajuan teknologi komputer pada hari ini, potensi kaedah simulasi Monte Carlo kini telah meningkat dengan begitu ketara dalam pelbagai aplikasi dunia nyata. Kini, bukan hanya ribuan atau jutaan data simulasi yang boleh dijana, malah ratusan juta data simulasi secara mudah boleh dijana dalam masa yang singkat untuk menyelesaikan pelbagai kes-kes yang rumit terutama melibatkan teknologi kecerdasan buatan (AI). Fasa ini boleh dikatakan menjadi suatu tanda bagi titik perubahan yang penting dalam falsafah berkaitan bidang sains dan matematik. Iaitu, sebarang teori-teori matematik aras tinggi yang kompleks kini bukanlah hanya suatu ilmu pengetahuan yang bersifat abstrak yang sukar untuk diterjemahkan aplikasinya. Menerusi kaedah simulasi Monte Carlo dengan berbantukan teknologi komputer pada hari ini, semua kerumitan tersebut boleh dirungkai dan diolah dalam bentuk aplikasi dunia nyata yang akhirnya akan membantu meningkat kemajuan tamadun manusia. Jadi, selepas ini jika anda mendengar tentang nama “Monte Carlo”, janganlah hanya terfikirkan ianya sekadar nama kasino. Apa yang lebih penting, ianya merujuk kepada suatu kaedah saintifik yang telah mengubah cara kita memahami dan menyelesaikan pelbagai masalah dunia nyata yang penuh dengan kemungkinan.

[ARTIKEL LAIN DARI PENULIS – Peranan Jarak Dalam Memahami Tingkahlaku Data]
[ARTIKEL LAIN DARI PENULIS – Dilema Data Pencil]
[ARTIKEL LAIN DARI PENULIS – Mengapa Taburan Normal Begitu Popular?]
[ARTIKEL LAIN DARI PENULIS- Taburan hukum-kuasa: Ketakseimbangan yang Teratur]

Rujukan:

Bruce, P. (2018). Monte Carlo Simulation — a Brief History. Available at: https://medium.com/@PeterBruce/monte-carlo-simulation-a-brief-history-ab83ab41609

Jäckel, P. (2002). Monte Carlo methods in finance. John Wiley & Sons.

Llorente, F., Martino, L., Read, J., & Delgado‐Gómez, D. (2025). A survey of monte carlo methods for noisy and costly densities with application to reinforcement learning and abc. International Statistical Review, 93(1), 18-61.

Sarrut, D., & Krah, N. (2021). Artificial Intelligence and Monte Carlo Simulation. In Monte Carlo Techniques in Radiation Therapy (pp. 251-258). CRC Press.

Signoret, J. P., & Leroy, A. (2021). Monte Carlo Simulation. In Reliability Assessment of Safety and Production Systems: Analysis, Modelling, Calculations and Case Studies (pp. 547-586). Cham: Springer International Publishing.

Stevens, A. (2022). Monte-Carlo simulation: an introduction for engineers and scientists. CRC Press.

Summerscales, O. (2023). Hitting the Jackpot: The Birth of the Monte Carlo Method. Available at: https://www.lanl.gov/media/publications/actinide-research-quarterly/1123-hitting-the-jackpot-the-birth-of-the-monte-carlo-method

Świechowski, M., Godlewski, K., Sawicki, B., & Mańdziuk, J. (2023). Monte Carlo tree search: A review of recent modifications and applications. Artificial Intelligence Review, 56(3), 2497-2562.