Apa Sebenarnya Ahli Matematik Buat?

Oleh: Prof Dr. Mohd Salmi Md Noorani
Jabatan Sains Matematik,
Fakulti Sains & Teknologi, Universiti Kebangsaan Malaysia

Saya sering ditanya oleh rakan-rakan saya yang agak tinggi sifat ingin tahunya dengan soalan-soalan seperti berikut: Kerja awak sebagai ahli matematik ni buat apa ya? Benda apa lagi yang kau kira? Macam mana engkau tahu yang apa yang engkau lakukan ini betul atau salah? Banyak lagi ke benda dalam dunia matematik yang kita tak tahu?…dan pelbagai lagilah soalan yang `sewaktu’ dengannya. Nampaknya soalan-soalan ini berkisar tentang apa sebenarnya yang dilakukan oleh seorang ahli matematik. Untuk merungkai semua tanda tanya ini, saya akan menggunakan nombor-nombor perdana sebagai asas perbincangan dan akan cuba memberikan pencerahan kepada kesemua soalan tadi dengan menggunakan objek matematik ini.

Baiklah, saya akan ingatkan para pembaca tentang apa yang dikenali sebagai nombor perdana. Nombor-nombor tabii (natural numbers) adalah nombor-nombor yang kita gunakan untuk membilang, iaitu 1, 2, 3, 4 dan seterusnya. Perhatikan 0 (disebut sifar berbanding kosong) bukan nombor tabii sebab kita tidak kira ayam atau itik kita bermula dengan 0 ayam, 1 ayam, 2 ayam dan seterusnya. Malah dari segi penggunaannya, konsep nombor 0 mula digunakan agak lewat, iaitu sekitar pada kurun kelima di India berbanding konsep nombor tabii yang diketahui digunakan lebih 2000 tahun sebelum itu dalam tamadun Babylon.

Dalam kalangan nombor tabii ini, nombor perdana adalah sebarang nombor lebih besar daripada 1 yang tidak boleh dibahagikan dengan nombor tabii lain selain 1 dan dirinya sendiri. Di sini ‘dibahagikan’ bermaksud ‘dibahagikan tanpa baki’. Sebagai contoh, 10 boleh dibahagikan dengan nombor 2, dan 20 boleh dibahagikan dengan nombor 4, kedua-duanya tanpa baki. Namun begitu, 32 tidak boleh dibahagikan dengan 5 kerana dalam kes ini hasilnya berbaki 2. Baiklah, beberapa contoh awal nombor-nombor perdana adalah 2, 3, 5, 7, 11 dan 13. Anda boleh cuba mengesahkan sendiri yang setiap nombor ini hanya boleh dibahagikan dengan dirinya sendiri dan 1 sahaja.

Apa yang dibuat dan bagaimana disahkan kebenarannya?

Jawapan mudah bagi soalan berkaitan apa yang dibuat ahli matematik adalah mereka mencari sifat atau corak tentang objek kajian mereka. Sifat atau corak bagi sesuatu objek atau pungutan objek itu merujuk pada ciri-ciri istimewa milik objek tersebut yang boleh diguna untuk membezakan atau mengenal pasti serta memperihalkan objek berkaitan.

Dalam konteks nombor perdana, satu soalan bersahaja yang boleh ditanya tentang sifat nombor ini ialah berapa banyak nombor perdana yang ada? Jawapan ringkas bagi soalan ini ialah bilangan nombor perdana ini adalah tidak terhingga banyaknya (infinite). Dengan kata lain, secara prinsipnya jika kita diminta senaraikan nombor-nombor perdana ini satu per satu, maka senarai ini tidak akan ada penghujungnya.

“Macam mana hal ini diketahui?”, tanya anda pula. Sebenarnya, hakikat ini sudah diketahui lebih 2000 tahun dahulu! Antara orang yang terawal memperlihatkan hakikat ini secara tuntas ialah sarjana tersohor Yunani, Euklid. Khususnya, beliau telah memberikan pembuktian yang cukup rapi dengan mengandaikan bahawa perkara sebaliknya benar, iaitu bilangan nombor perdana adalah terhingga banyaknya. Dalam kata lain, ini bermaksud wujudya nombor perdana paling besar. Oleh itu, kita boleh senaraikan nombor-nombor ini sebagai 2, 3, 5, …, p_n dari yang terkecil iaitu 2 hinggalah yang terbesar p_n. Sekarang pertimbangkan suatu nombor baharu P = (2 x 3 x 5 x … x p_n) + 1, iaitu hasil darab kesemua nombor perdana yang tersenarai itu dan ditambah pula dengan 1. Inti pati hujah seterusnya ialah dengan menunjukkan berlakunya percanggahan fakta disebabkan andaian sebaliknya tadi (lihat Rajah 1). Kemuncaknya, untuk mengelakkan berlakunya percanggahan fakta ini kita perlu ambil sebagai hakikat bahawa bilangan nombor perdana adalah tidak terhingga banyaknya.

Di sini, kita telah lihat cara ahli matematik berhujah untuk menyakinkan orang ramai tentang kesahihan sesuatu fakta. Kalau orang sains seperti kimia atau biologi, mereka sangat bergantung pada eksperimen untuk mengesahkan fakta-fakta, manakala orang matematik pula sangat bergantung pada ‘pembuktian’. Jalan kerja pembuktian ini melibatkan rantaian hujah yang logikal dengan matlamat menjamin dan menuju kepada kebenaran fakta berkaitan.

Inilah kaedah pembuktian yang mesti dilalui oleh setiap ahli matematik sebelum sesuatu pernyataan itu boleh dicop sebagai suatu fakta matematik. Secara amnya, ini bukan kerja mudah kerana terdapat fakta-fakta matematik yang mengambil masa beratus-ratus tahun sebelum mampu dibuktikan kebenarannya. Sebagai contoh, Teorem Terakhir Fermat menyatakan tiada tiga nombor tabii x, y, dan z yang memenuhi x­_­ⁿ + yⁿ = zⁿ jika n lebih besar daripada 3. Layari sahaja laman web untuk pembuktiannya, pasti anda akan terpegun dengan sejarah pengesahan fakta ringkas ini.

Apa lagi yang dicari?

Baiklah, apa lagi yang kita tahu tentang corak atau sifat nombor-nombor perdana ini? Bermotivasikan contoh-contoh yang sedia ada, ahli matematik terus meneroka jawapan bagi soalan ini. Sebagai contoh, bagi nombor-nombor genap 2, 4, 6, 8 dan seterusnya, coraknya mudah sekali. Nombor-nombor ini duduknya selang-seli dengan nombor yang bukan genap iaitu 1, 3, 5, … (dikenali sebagai nombor ganjil). Jadi dalam konteks nombor perdana, adakah corak sebegini wujud bagi nombor-nombor tersebut. Jawapan bagi soalan ini ialah `tiada’, atau sekurang-kurangnya tiada yang semudah seperti yang dimiliki oleh nombor genap dan ganjil.

Walaupun kita tahu bahawa nombor-nombor perdana adalah tidak terhingga banyaknya, berbanding kedudukan nombor genap dalam senarai nombor tabii, kita tidak boleh perihalkan secara konkrit kedudukan nombor-nombor perdana dalam senarai tersebut. Nampaknya corak bagi nombor-nombor perdana ini bukan mudah dicari, malah kesukarannya mengekalkannya sebagai antara soalan yang menjadi hambatan para penyelidik matematik dari dahulu sehingga sekarang.

Salah satu corak tersohor nombor-nombor perdana yang telah bermain di kepala ahli matematik tersohor seperti Gauss dan Legendre dikenali sebagai Teorem Nombor Perdana. Dapatan yang sangat mendalam dan cantik ini—mendalam sebab hasilnya sangatlah tak remeh, dan cantik sebab rumus yang berkaitan adalah ringkas dan tidak menggerunkan—telah disahkan benar buat pertama kalinya oleh Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée Poussin pada tahun 1896 secara berasingan. ‘Berasingan’ di sini bermaksud setiap individu tersebut telah menerokai masalah corak nombor perdana ini secara bersendirian dan kebetulan kedua-duanya telah menemui sifat mendalam ini pada waktu yang sama.

Sifat yang dimaksudkan itu adalah tentang anggaran taburan nombor-nombor perdana dalam senarai nombor-nombor tabii. Dalam bahasa mudah, dapatan ini mengatakan bahawa bagi setiap nombor tabii N, bilangan nombor perdana yang kurang atau sama dengan N dianggarkan berjumlah sekitar N/log N dan anggaran ini bertambah baik (iaitu ralat semakin mengecil) apabila N semakin besar (log di sini diambil sebagai log tabii dengan nombor Euler, e sebagai asas logaritma). Jadual 1 berikut mampu menjelaskan hal ini.

Kalau diperhatikan, perbezaan anggaran (A) menerusi rumus Teorem Nombor Perdana dengan situasi sebenar (B) adalah sangat kecil (terutamanya apabila N semakin meningkat) dan hal ini memperlihatkan kejituan rumus penemuan Hadamard dan Poussin itu. Atas dasar inilah teorem tersebut dinobatkan sebagai salah satu dapatan hebat matematik kurun ke-19 kerana berjaya mencungkil rahsia milik nombor-nombor perdana ini.

Apa gunanya semua ini?

Saya pasti ramai yang tertanya-tanya:  Apa faedah semua ini? Apa gunanya mencari nombor-nombor perdana yang berjela-jela panjangnya ini? Untuk menjawab soalan ini, katakan anda membeli barang menerusi internet dan anda pun membuat pembayaran menerusi kad kredit. Sudah pasti anda perlu taipkan pin rahsia anda dan segalanya akan selesai apabila maklumat ini disahkan oleh syarikat kad kredit berkaitan. Bagaimana kita hendak pastikan bahawa pin rahsia ini hanya mampu diketahui oleh syarikat kad kredit tersebut dan tidak jatuh kepada orang yang tidak bertanggungjawab?

Secara asasnya, apabila anda menghantar pin tersebut, penghantaran ini dibuat dalam bahasa rahsia yang hanya mampu difahami oleh pihak berkaitan termasuklah syarikat kad kredit. Setiap bahasa rahsia ada kuncinya yang unik. Oleh itu, pihak yang membangunkan bahasa rahsia ini perlu memastikan kunci kepada bahasa rahsia ini adalah sesukar yang mungkin untuk diketahui. Di sinilah nombor perdana memainkan peranan yang penting kerana nombor-nombor ini mampu bertindak sebagai kunci kepada bahasa rahsia berkenaan. Sebelum kita berikan pencerahan tentang hal ini, eloklah kita perihalkan lebih sedikit tentang sifat nombor.

Salah satu aspek nombor yang biasa bagi kita semua ialah mencari pembahagi sesuatu nombor. Contohnya, pembahagi bagi 24 adalah 6 dan 4. Bukan itu sahaja, malah nombor-nombor 2 dan 3 juga membahagi nombor 24. Perhatikan bahawa nombor-nombor 2 dan 3 adalah nombor perdana dan ini sebenarnya satu hakikat penting tentang pembahagian nombor: diberi sebarang nombor, mesti ada nombor perdana—digelar pembahagi perdana—yang akan membahagi nombor tersebut. Sudah tentu jika nombor asal adalah nombor perdana maka ambil sahaja nombor tersebut sebagai pembahagi perdananya.

Jalan kerja untuk mencari pembahagi sesuatu nombor N adalah sukar kerana tugas ini melibatkan operasi membahagi nombor. Saya percaya anda pasti lebih selesa mendarab dua nombor (iaitu operasi darab) berbanding membahagi sesuatu nombor dengan suatu nombor lain (operasi bahagi). Secara amnya, kalau kita lakukan secara hentam kromo, maka kita mesti ambil satu per satu nombor yang lebih kecil daripada N dan tentukan yang mana yang membahagikan N. Semakin besar N, semakin meningkatlah pilihan nombor yang perlu ditentukan sama ada membahagi atau tidak nombor N itu. Sekarang kalau kita tambah satu lagi syarat iaitu pembahaginya mesti nombor perdana (sememang wujud bagi setiap nombor) maka tugas kita akan bertambah berat sebab kita bukan sahaja perlu mencari pembahagi tetapi mesti tentukan mana yang perdana juga!!

Walaupun nampak remeh serta rutin, kerja mencari pembahagi ini memakan masa yang lama. Untuk makluman semua, ada nombor dengan 232 digit yang hanya boleh diketemui pembahagi perdananya setelah dua tahun, itu pun dengan menggunakan kaedah pengkomputeran serentak dengan beratus-ratus komputer yang canggih!! Hakikat kesukaran mencari pembahagi perdana sebeginilah yang membuatkan nombor perdana itu sangat sesuai dijadikan kunci rahsia.

Dalam bahasa mudah, jalan kerjanya boleh diringkaskan seperti berikut: Mesej asal m (umpamanya, nombor pin atau sebarang maklumat) dijelmakan menjadi suatu nombor dan seterusnya didarab dengan suatu nombor perdana p yang sangat besar (yang dikenal pasti terlebih dahulu). Umpamanya, nombor perdana ini dipilih oleh pembangun sistem supaya beratus digit panjangnya dan apabila didarab dengan nombor (mesej) asal akan menghasilkan suatu nombor N = mp yang beribu-ribu digit panjangnya. Nombor N ini apabila sampai ke pihak syarikat kad kredit akan dibahagi dengan p (yang mereka ketahui) bagi mendapatkan mesej asal m. Bagi individu yang ingin mencuri maklumat m pula, mereka perlu mencari p yang merupakan pembahagi perdana bagi N dan kesukaran mencari pembahagi ini terserlah dengan sendirinya sebab N adalah sangat besar sehingga beribu-ribu digit panjangnya (rujuk Rajah 2).

Umpamanya, kalau N itu sekitar 300 digit maka boleh dianggap N itu bernilai sekitar 2¹⁰⁰⁰. Dalam hal ini, salah satu rentetan daripada Teorem Nombor Perdana mengatakan bahawa kebarangkalian untuk menjumpai nombor perdana (kunci) itu dalam senarai nombor-nombor dari 1 hingga ke N adalah sekitar 1/log(2¹⁰⁰⁰) iaitu 0.0014. Amat tipis sekali! Itu pun untuk situasi N memiliki 300 digit sahaja, belum lagi beribu-ribu digit!!

Saya telah ketepikan banyak aspek teknikal dalam penceritaan di atas tetapi secara asasnya inilah serba sedikit tentang suatu skema menyorok maklumat tersohor yang berlandaskan nombor perdana— dikenali sebagai skema RSA—yang digunakan secara praktis hingga kini bagi menghasilkan bahasa rahsia (kriptografi) dalam pelbagai aspek kehidupan seperti perbankan, ketenteraan, jual-beli dalam talian dan banyak lagi.

 Apa lagi yang tidak diketahui tentang nombor perdana?

Sebenarnya ada banyak lagi perkara yang tidak diketahui tentang nombor-nombor misteri ini. Salah satu masalah yang cukup ‘degil’ dikenali sebagai Konjektur Goldbach yang mendakwa bahawa setiap nombor genap selain 2 boleh ditulis sebagai hasil tambah dua nombor perdana. Sebagai contoh, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 = 5 + 5 dan banyak lagi contoh seumpama ini. Konjektur ini telah dikemukakan oleh seorang ahli matematik German, Christian Goldbach, pada tahun 1742 dan sehingga kini tiada siapa yang tahu sama ada dakwaan ini benar atau tidak. Khabarnya konjektur ini telah disahkan benar dengan menggunakan komputer bagi nombor-nombor genap sehingga 4 x 10¹⁸, tetapi bukti rapi (seperti yang dibincangkan di atas) masih belum diketemui. Ingat, pernyataan am seperti ini tidak boleh disahkan menggunakan contoh, sekalipun berjuta-juta contoh ditemui!

Satu perkara yang menarik tentang konjektur ini ialah ia telah berjaya mengilhamkan seorang penulis Greek untuk menghasilkan suatu novel bertajuk ‘Uncle Petros and the Goldbach conjecture’. Sebagai suatu daya penarik publisiti, penerbit novel ini pula telah menawarkan ganjaran sebanyak 1 juta USD kepada sesiapa yang boleh membuktikan kebenaran konjektur berkenaan dalam dua tahun dari tarikh buku itu diterbitkan. Buku tersebut diterbitkan dalam tahun 2000 dan kini kita berada di tahun 2021. Nampaknya bukan sahaja dua tahun tidak mencukupi, ditambah 20 tahun lagi pun tidak mampu mendatangkan hasil yang diingini. Begini sukar dan degilnya konjektur Goldbach yang kini sudah berusia hampir 280 tahun.

Akhir kata

Saya berharap tulisan di atas bukan sahaja mampu memberi sedikit sebanyak pencerahan tentang perkara yang ditekuni oleh ahli-ahli matematik bahkan cara mereka bekerja juga. Bergantung pada kecenderungan masing-masing, soalan-soalan bersahaja akan sentiasa ditanya tentang objek yang dikaji, tetapi hal inilah yang akan menjadi penggerak kepada penyelidikan masing-masing.

Mereka yang berminat dengan penyelidikan asas atau tulen akan meneroka sifat dalaman objek matematik, seperti mencari corak bagi nombor perdana dan lain-lain. Bagi penyelidikan gunaan pula, pendorongnya sudah pastilah ingin melihat kajian masing-masing diguna pakai dalam dunia nyata seperti dengan penggunaan nombor perdana dalam bidang kriptografi di atas. Perhatikan bahawa contoh pembahagi perdana ini juga telah memperlihatkan saling tindakan yang sihat antara penyelidikan asas dan gunaan di mana aspek kajian yang bermula sebagai bidang asas kini beralih kepada bidang gunaan apabila objek kajian tersebut dilihat mampu digunakan untuk menyelesaikan masalah dunia nyata. Inilah cara ahli matematik bekerja dari dahulu sehingga sekarang; kesemuanya untuk mendalami memahami rahsia dunia dari kaca mata asas mahupun gunaan.