Rencana : Matematik, Falsafah dan Realiti

Oleh : Dr. Mohammad Alinor Abdul Kadir
Pensyarah Falsafah Sains Matematik, UKM

Pengenalan

Sepanjang pembacaan kami terhadap banyak buku yang tema perbincangannya, langsung atau tidak langsung, menyentuh Falsafah Matematik, hanyalah beberapa sarjana sahaja sebelum rangkaian Frege-Russell sekitar selepas 1880-an yang membahas isu kefalsafahan dalam Matematik. Yang mungkin paling awal kami kesan adalah al-Suhrawardi sekitar kurun ke-12M yang menghujahkan bahawa “benda-benda Matematik sifatnya saling boleh tukar, iaitu yang empirik boleh diabstrakkan dan yang abstrak boleh diempirikkan”.

Bayangkan, tatkala itu Matematik terbaik di dunia adalah kemajuan yang diasaskan oleh al-Khwarizmi dalam aljabar (penumpuannya adalah penyelesaian persamaan nombor), namun usaha-usaha sudah dilakukan untuk menyelesaikan persamaan kuasa tertinggi x² (kuadratik, semenjak Greek lagi), x³, x⁴ dan x⁵ (kuintik). Penyelesaian persamaan kuintik menghasilkan Teori Kumpulan (Group Theory) oleh Galois sekitar 1890-an, yang teoremnya adalah “persamaan kuintik hanyalah terselesaikan jika punca-puncanya saling simetri sifatnya, ataupun saling tukar kedudukan tanpa menjejaskan penyelesaian”. Tindakan bersifat simetri bagi unsur-unsur inilah yang membentuk struktur Kumpulan Simetri (symmetrical group), yang telah ditemui sebelumnya oleh Cayley dalam kajian pilihatur (kad judi).

Klasiknya kajian Persamaan Kuintik ini dalam Tamadun Islam ditunjukkan oleh wujudnya kajian yang sama dalam kitab bertajuk Alam al-Hussab fi ilm al-Hisab yang dikarang oleh Sheikh Ahmad bin Abdul Latif al-Khatib al-Minangkabawi (ahli matematik Melayu) sekitar 1890-an di Mekah. Namun, beliau hanyalah mengulang-ulang apa yang disebut oleh sarjana-sarjana Muslim semenjak al-Khwarizmi tentang persamaan kuantik, dan tak langsung mengetahui tentang kerja-kerja Galois, walaupun Mekah dan Perancis taklah jauh sangat berbanding tanahairnya di Minangkabau.

Sheikh Ahmad inilah guru kepada Dr. Karim Amrullah (ayah kepada HAMKA). HAMKA juga pernah bertugas di balai penerbitannya selama setahun di Mekah. Sewaktu PPSM, UKM, dahulu sibuk-sibuk mahu membina Institut Sains Matematik di UKM, sebelum tahun 2005, kami mengusulkan namanya sebagai Institut Sains Matematik Sheikh Ahmad bin Abdul Latif al-Khatib Minangkabawi, ditolak mentah-mentah, mungkin sebab pengerusi AJK Penaja adalah seorang Jawa?

Dikalangan 30,000 manuskrip Melayu yang berada diseluruh dunia, hanyalah kitab ini dan salinan Arabnya, yang merupakan kitab Matematik lengkap yang dikarang oleh seorang Melayu. Tapi, seseorang harus maklum, sebelum 1900, hanyalah beberapa ratus sahaja buku yang dikarang yang kini boleh dikelaskan sebagai dalam bidang Matematik, iaitu buku-buku yang mengkhusus dalam Geometri, Aritmetik, Kalkulus dan Aljabar, karya seumpama yang dihasilkan oleh Gauss.

Sarjana-sarjana lain seumpama al-Suhrawardi banyak di Eropah, seperti Leibniz, Kant, Fichte, Hegel, Boole, Bolzano, Husserl, dll, yang berusaha membahas apakah “benda-benda Matematik” itu? Namun, yang benar-benar berusaha menjawab permasalahan apakah “benda-benda Matematik” ini adalah Frege seawal 1879. Sarjana lainnya yang menyentuh sedikit-sebanyak isu ini adalah Husserl, Cantor dan Peano. Kami akan bahaskan gerakan yang terawal diusulkan di Eropah untuk menjawab apakah sebenarnya perkara-perkara yang dikaji dan dibincangkan dalam Matematik. Gerakan ini dinamakan sebagai Logikisme/Mantikisme.

Logikisme : Matematik Boleh Dijelaskan Seluruhnya Dengan Logik/Mantik.

Sarjana yang pertama kali menyedari hal ini berkemungkinannya Leibniz, dan semenjak itu beliau sentiasa membahaskan bahawa seluruh ilmu di alam ini boleh disusun menerusi logik, atau nama lainnya adalah Bahasa Sejagat (Universal Language). Khusus untuk Matematik, seawal 1679 beliau mengarang beberapa makalah/surat awal yang menunjukkan bahawa ayat-ayat/ kenyataan-kenyataan saintifik boleh disusun semula dengan menggunakan logik, yang sebenarnya beliau berusaha menjelaskan peranan operasi “dan”, “atau”, “tidak” dan “jika-maka/implikasi” dalam bahasa manusia. Banyaklah dapatannya, contohnya “tidak(A dan B) = tidak (A) atau tidak (B)”, “A dan (B atau C) = (A dan B) atau (A dan C)”, “tidak (jika A maka B)=A dan tidak(B)”, dll. Seolah-olahnya di dalam sesuatu bahasa manusia, wujudnya suatu struktur aljabar logik. Inilah yang dilengkapkan oleh George Boole pada 1854 dalam bukunya An Investigation of The Law of Thought : On Which Are Founded The Mathematical Theories of Logic and Probabilities, dan hasil karyanya itu menukilkan bidang yang kini dipanggil Logik Bermatematik.

Matlamat utama bidang ini adalah mencari aljabar logik yang sesuai bagi beberapa jenis kenyataan dalam bahasa manusia. Setakat kemajuan dalam bidang ini semenjak Aljabar Boole (logik 2-nilai), wujudlah Aljabar Logik Brouwer-Heyting, Aljabar Ibn Sina (logik temporal), Aljabar Topos (bahasa pengaturcaraan), Aljabar Logik Quantum, Aljabar Komunikasi Organik, dll. Belumlah ada sarjana Matematik dan Bahasa-Linguistik Malaysia yang berusaha menunjukkan bahawa Bahasa Melayu mematuhi Aljabar Boole, walaupun ada yang menunjukkan bahawa Bahasa Melayu tidak mematuhi Teori Tatabahasa Generatif Chomsky.

Dapatan Boole ini sebenarnya tidak 100% diterima dalam bidang Matematik, maksudnya kenyataan-kenyataan (takrif, teorem, lema, korolari, contoh penolak, dll) Matematik tidaklah 100% boleh dijelaskan dengan Aljabar Boole. Sarjana pertama kalangan Matematikawan yang tidak menyetujui Boole adalah Frege yang mengarang Begriffsschrift @ A Formula Language, Model Upon That of Arithmetic, For Pure Thought pada 1879. Frege menghujahkan bahawa dalam Aritmetik (belum ada pertimbangan ttg Geometri dll bidang Matematik Tulen), kenyataan-kenyataannya tidaklah sama dengan ayat-ayat bahasa biasa, contohnya, adanya penambahan “untuk semua”, “tidak semua”, “ada suatu”, “ada suatu dengan unik”, “sama dengan”, “setara dengan”, “lebih kecil/besar daripada”, dll.

Lalu, sebenarnya Frege hanyalah membuat penambahan kecil/perlu kepada Boole agar sesuai dengan Aritmetik. Namun, tema utama Frege adalah Matematik Tulen Seluruhnya Dapat Dijelaskan Dengan Logik. Ini dibahaskannya dalam dua karya besarnya, iaitu Die Grunlagen der Arithmetik (1884) dan Grundgesetze der Arithmetik (1893). Dengan falsafah Logikisme ini beliau mengkritik Husserl yang menulis buku Philosophie der Arithmetik : Psychologische und Logische Untersuchungen (1891), yang mempertahankan pandangan bahawa Logik dan Aritmetik adalah dilandaskan kepada psikologi.

Husserl menyambung kerja-kerja gurunya Brentano yang mempertahankan Psikologisme. Ada yang berpandangan bahawa disebabkan Husserl tidak mahu berbalah panjang dengan Frege, lalu beliau menyetujui Frege mengkritik Psikologisme dalam bukunya Logische Untersuchungen (1900-1901), lalu menukilkan Fenomenologi yang memperbaiki kefahaman terhadap epistemologi dan logik. Husserl kemudiannya hanyalah sekali menulis tentang Matematik secara teliti iaitu tatkala mengarang The Origin of Geometry (1936), yang diulas oleh Derrida dalam Introduction a “L’Origene de la Geometrie” de Husserl (1962) dan dikatakan bahawa ulasan inilah titik tolak Derrida menukilkan Dekonstruktif. Fahaman Logikisme Frege ini dilengkapkan oleh Whitehead-Russell yang menulis Principia Mathematica (1910-1913). Beberapa prinsip yang dinukilkan oleh Frege ternyata salah, namun diperbetulkan oleh Whitehead-Russell. Contohnya adalah Paradoks Russell, iaitu set bagi set bukanlah set. Russell menukilkan Teori Type/Jenis bagi mengatasi masalah ini.

Logikisme tidaklah mendapat tentangan yang hebat daripada ahli-ahli Falsafah Matematik, malah kebanyakan ahli Matematik dan ahli Falsafah Matematik menyetujuinya. Kami berpendirian bahawa keadaan ini adalah disebabkan sememangnya Matematik itu secara harfiahnya memanfaatkan logik secara maksimum, terutama tatkala mengoperasikannya. Bantahan-bantahan yang hadir selalunya dating daripada isu-isu yang agak epistemologi sifatnya, seperti persoalan apakah nombor?, apakah geometri?, apakah logik?, apakah rumus?, dll. Kami akan bahaskan bantahan yang pertama oleh puak Brouwer-Heyting.

Intuisisme :Matematik Tidak Mematuhi Mantik 2-Nilai.

Bantahan yang paling menarik dibahaskan terhadap Logikisme adalah bantahan yang dibuat oleh Ludwig Wittgenstein terhadap Russell semenjak beliau mendaftar PhD di bawah Russell pada 1914 sehinggalah beliau dipanggil untuk kerahan tentera sekitar 1917. Disepanjang waktu ini, Wittgenstein hanyalah meninggalkan tulisan sejumlah 2 mukasurat yang diterbitkan oleh Aristotelian Society dan beberapa buku nota. Apakah bantahannya?

Wittgenstein menghujahkan bahawa logiskisme adalah tersasar daripada pencarian kebenaran bersebabkan logikisme menganggap benar tanpa bantahan terhadap semua perkara yang mentakrifkan kenyataan/ayat yang digunakan dalam logik. Contohnya, logikisme menganggap benar tentang huruf, angka, simbol, ayat, nama, perkataan, ayat, dll. Isunya, daripada manakah seseorang manusia yang rasional mendapatkan huruf, angka, perkataan, simbol, dll itu? Apakah semuanya metafizik atau sesuatu yang boleh dijelaskan dengan rasional? Hal ini tidak mampu dijawab oleh Russell, dan Frege memang tidak menjawab sebelumnya. Bantahan inilah yang menjadikan Russell gementar badan dan terus langsung berganjak menukar bidang penulisannya daripada Matematik dan Logik.

Wittgenstein menulis PhDnya bertajuk Tractatus Logico Philosophicus (TLP) (dalam Bahasa German) dalam penjara pada 1918. Russell meluluskan PhD Wittgenstein pada 1921 dan TLP diterjemahkan ke Bahasa Inggeris pada 1921 (dengan Kata Pengantar oleh Russell). Kemudian Wittgenstein berhenti daripada mengkaji falsafah, sebab katanya dia telah menjawab seluruh masalah falsafah. Temanya adalah, seluruh masalah falsafah adalah terletak penyelesaiannya dalam falsafah bahasa. Jika seseorang telah menyelesaikan masalah falsafah bahasa, lalu dia telah menyelesaikan seluruh masalah falsafah. Kepada Wittgenstein, dia telah menyelesaikan seluruh masalah falsafah bahawa dalam TLP. Jawapan Wittgenstein terhadap soalannya kepada Russell tersebut adalah, manusia menanggap benda-benda dipersekitarannya bukan hanya dengan perkataan=nama/ayat=usulan, namun dengan simbol, angka, huruf, gambar, rumus, graf, model, dll yang asas.

Wittegnstein dikatakan pernah dipengaruhi oleh Brouwer dalam dua kuliah Brouwer yang Wittgenstein hadiri sekitar 1929-1930. Bersebabkan itulah, Wittgenstein meninggalkan banyak nota tentang Matematik yang disusun dalam dua buah buku. Wittgenstein kemudiannya setuju dengan Moore sekitar 1940 bahawa beliau belum menyelesaikan masalah-masalah falsafah dalam TLP lalu mengambil jawatan professor di University of Cambridge menggantikan Moore. Bukunya Philosophical Investigation (1953) (versi Bahasa Melayu diterjemah oleh DBP) dimatlamatkan untuk menjawab hal ini.

Bantahan yang lebih awal daripada Wittgenstein yang ditujukan kepada Logikisme dilakukan oleh Brouwer, yang menyiapkan PhDnya bertajuk Over de Grondlagen de Wiskunde dalam tahun 1907. Draf pertama tesisnya yang ditolak oleh penyelianya menyatakan seluruh bantahannya terhadap Logikisme. Penyelianya ini mengarahkan beliau memotong semua bantahan tersebut jika mahu diluluskan. Beliau akur dan memotongnya. Beliau lulus dan kemudiannya menulis semula bantahannya dalam puluhan makalahnya (dalam Bahasa Belanda). Beliau menyatakan bahawa kebenaran dalam Matematik yang berpaksikan logik 2-nilai adalah tidak lengkap. Menafikan hitam bukanlah putih, dan menafikan putih bukanlah hitam. Terutamanya, dalam pembuktian secara percanggahan (contradiction) yang agak berleluasa dalam Matematik, iaitu ~ (pèq) = p ∧ ~ q.

Brouwer dan muridnya Heyting sebenarnya menghujahkan bahawa dalam Matematik, kebenarannya adalah lebih luas daripada yang dipersembahkan dalam logik 2-nilai. Mereka berdua tidak pula bersetuju dengan logik 3-nilai atau umumnya logik banyak-nilai, tetapi hanyalah menyatakan bahawa jikanya sesuatu kenyataan/teorem Matematik itu gagal dibuktikan secara terus (pèq), makanya pembuktian secara percanggahan tidaklah boleh diterima sebagai benar, tetapi kaedah pembinaan/konstruktif bolehlah dimanfaatkan.

Masalahnya, kaedah konstruktif Brouwer amatlah sukar difahami, sehinggalah sekarang. Bagaimanapun, Heyting melengkapkan kajian Brouwer sehinggalah mampu ditafsirkan sebagai sememangnya berbeza dengan sebelumnya dan digelar Aljabar Logik Brouwer-Heyting. Brouwer juga menganggap bahawa nombor, geometri, topologi, dll adalah produk akal manusia. Kaedah inilah yang digelarkan sebagai Intuisisme, mungkin bersebabkan Brouwer seorang Mistikus Kristian yang bertapa sehelai sepinggang dalam sebuah pondok kayu dalam sebuah hutan.

Sewaktu suatu Kongres Matematik di Eropah, diawal kurun ke-20M, Russell, Brouwer dan Hilbert dijemput membentangkan makalah masing-masing. Brouwer seperti biasa mengusulkan sanggahannya terhadap kaedah percanggahan yang dipersetujui oleh Russell dan Hilbert. Dimaklumkan bahawa Hilbert bangun dan membantah Brouwer dengan menyatakan “jika pembuktian secara percanggahan tidak diterima, Brouwer memusnahkan 70% Matematik, bagaimana Brouwer mahu menggantikannya?” Brouwer tidak menjawab soalan ini kerana beliau tahu bahawa beliau tidak mampu menggantikannya walaupun 10%. Hilbert berbuat demikian kerana beliaulah yang membawa kaedah percanggahan ini ke dalam Matematik, malahan beliau digelarkan sebagai Mathematician- Theologian.

Ini adalah kerana kaedah percanggahan amatlah popular dikalangan agamawan/teolog sewaktu berhujah dan berhujah balas semenjak zaman Yahudi-Kristian-Islam sebelum 900M lagi, malah agamawan-agamawan Muslimlah yang melengkapkannya dalam bidang ilmu Kalam. Kami akan bincangkan apakah pula yang dipegang oleh Hilbert.

Formalisme : Matematik Adalah Struktur Yang Lengkap

Hilbert langsung tak memperdulikan apakah yang dibahaskan secara epistemologi, ontologi, logik, teologi, atau apa-apa sahaja yang bernilai falsafah dalam Matematik. Kepadanya, yang utama adalah mengisi kandungan Matematik itu selengkapnya. Hilbert menumpukan perhatiannya kepada bidang geometri berbanding aritmetik. Kami belum pernah mentelaah mana-mana buku Hilbert walaupun memiliki beberapa bukunya dalam Bahasa Jerman.

Kepada Hilbert, yang bersetuju dengan Logikisme, perkara yang paling penting dilakukan oleh ahli Matematik adalah mengisi lompang-lompang yang wujud dalam Matematik. Dengan kata lain, mencipta dengan lebih banyak teorem bagi menjelaskan lebih banyak perkara yang tidak difahami dalam Matematik. Beliau tidak menganggap penting untuk dijawab kenapakah ada 2 bentuk geometri, iaitu Geometri Euclid dan Geometri Bukan-Euclid? Geometri manakah yang lebih benar? Dll masalah, walaupun terkait geometri. Jauh lagilah beliau akan berusaha menulis makalah seperti yang Husserl tulis itu. Sikap beliau inilah yang mempengaruhi hampir kesemua ahli-ahli Matematik dunia, tak kira dalam negara mana sekalipun.

Hilbert cumalah terkapai apabila Kurt Godel pada 1943 menunjukkan bahawa mana-mana sistem yang dibangunkan oleh manusia adalah tidak lengkap, dan memerlukan perkara-perkara luar untuk menggerakkannya. Namun, tesis Godel ini tidak dikembangkan oleh ahli falsafah Matematik mungkin bersebabkan ada citarasa metafizik.

Perkembangan Falsafah Matematik Semenjak 1970-an

Satu-satunya aliran falsafah yang kekal sebagai tidak ditunjukkan salah secara logik adalah aliran Intuisisme Brouwer-Heyting. Aliran ini sebenarnya bersetuju banyak dengan Fenomenologi Husserl, Permainan Bahasa Wittgenstein dan Dekonstruktif Derrida. Kami harap boleh menjelaskan hal ini kemudiannya. Namun, apa yang kami mahu tunjukkan disini adalah berkenaan perkembangan suatu bidang yang agak abstrak sifatnya iaitu Teori Topos, yang dinukilkan oleh Alexander Grothendieck semenjak 1960-an dan dimajukan oleh Francis William Lawvere semenjak 1964. Topos berbicara tentang Matematik Dimensi-2 dan menganggap Matematik yang berteraskan Set-Logik spt yang dibawakan oleh Frege-Russell, Hilbert dan Brouwer adalah Matematik Dimensi-1.

Menariknya, apabila semua masalah yang dibicarakan tadi, iaitu perdebatan 3 aliran utama dalam Matematik sekitar 1890-1940, ditafsirkan dalam Matematik Dimensi-2, ternyata bahawa Logikisme dan Intuisisme dapat dinyatakan sebagai suatu kenyataan yang tak bercanggah. Cumanya, Logikisme berada pada dimensi-1 dan Intuisisme pada dimensi-2. Namun, malangnya falsafah topos ini belum dijelmakan, adalah sedikit disentuh oleh Alan Badiou (belum kami telaah). Chris Isham di UK berusaha meletakkan topos sebagai landasan kepada Mekanik Quantum.
Nota Editor :
Dr. Mohammad Alinor bin Abdul Kadir ialah Pensyarah Matematik Tulen dan Falsafah Matematik di Pusat Pengajian Sains Matematik, Fakulti Sains dan Teknologi, Universiti Kebangsaan Malaysia.

Makalah ini dibentangkan dalam satu program anjuran Universiti Terbuka Anak Muda (UTAM) pada 30/05/2015.