EVA: Kerangka Statistik untuk Fenonema Luar Jangka

Penulis: Prof. Madya Dr. Nurulkamal Masseran
Pensyarah Kanan
Jabatan Sains Matematik, Universiti Kebangsaan Malaysia

Pepatah melayu ada menyebut bahawa “malang tidak berbau”. Pepatah ini membawa maksud bahawa dalam kehidupan seharian kita, sekali-sekala kita mungkin akan berhadapan dengan peristiwa yang tidak terduga yang boleh memberikan kesan besar kepada kehidupan kita. Malah, perkara sebegini juga boleh berlaku dalam apa-apa sistem dan fenomena dunia nyata. Sebagai contoh, bayangkan senario bagi sebuah sungai di kampung halaman anda yang kebiasaannya mencatatkan paras air antara 1-3 meter hampir sepanjang tahun. Namun, sesekali dalam tempoh beberapa tahun, berlaku fenomena hujan yang sangat lebat sehingga menyebabkan paras air sungai tersebut meningkat dan melimpah sehingga 40 meter. Kejadian ini sekaligus mengakibatkan kampung anda dilanda bencana banjir besar dan menyebabkan anda mengalami kerugian dan kerosakan rumah yang sangat teruk.

Dalam senario yang lain berkaitan ekonomi dan kewangan pula, misalkan pasaran saham negara umumnya menunjukkan pergerakan indeks turun naik sekitar 1% hingga 2% setiap hari dengan unsur kemeruapan yang tidak begitu kritikal. Namun, dalam tempoh beberapa dekad, adalah tidak mustahil untuk berlakunya krisis luar jangka yang boleh menyebabkan indeks saham tersebut boleh menjunam lebih dari 20%-50% dalam masa sehari dan sekaligus akan membawa kepada masalah kemelesetan ekonomi seperti peristiwa krisis Black Monday 1987, krisis kewangan Asia 1997, krisis kewangan global 2008, dan banyak lagi.

Selain daripada itu, dalam senario yang berbeza seperti sektor kejuruteraan, misalkan sebuah jambatan tinggi yang dibina dengan keadaan cuaca yang normal, ianya mempunyai keupayaan untuk menampung beban trafik harian dengan tiupan angin pada kelajuan 1-15 m/s. Dalam keadaan yang normal, struktur jambatan tersebut tidak akan mengalami sebarang masalah. Namun, dalam tempoh puluhan dekad, tidak mustahil untuk berlaku kejadian taufan ekstrem dengan kelajuan angin melebihi 70 m/s. Tekanan dari kelajuan angin luar biasa ini boleh mengakibatkan struktur jambatan tersebut runtuh sepenuhnya dan sekaligus boleh membawa kepada kemalangan jiwa.

Senario-senario tersebut merujuk kepada fenomena luar jangka yang secara umumnya hanya mempunyai kemungkinan yang sangat rendah untuk berlaku. Namun, ianya bukanlah mustahil untuk berlaku terutama dalam suatu tempoh masa yang panjang. Dan malangnya, fenomena-fenomena ekstrem ini akan membawa implikasi yang sangat buruk yang mungkin boleh meruntuhkan keseluruhan ekosistem yang terlibat jika risikonya tidak diuruskan dengan sewajarnya. Oleh itu, pemahaman yang baik berkenaan tingkah-laku fenomena ekstrem ini merupakan maklumat awal yang sangat penting terutama bagi tujuan pengukuran dan pengurusan risiko. Dalam artikel ini, kita akan membincangkan bagaimana kaedah statistik boleh mengungkap tingkah-laku peristiwa luar jangka menerusi kerangka analisis nilai ekstrem (extreme value analysis (EVA)).

Taburan Nilai Ekstrem dan Pareto Teritlak

Kebanyakan kaedah statistik umumnya memberikan penumpuan terhadap nilai purata dan nilai variasi dalam sesuatu fenomena. Dalam senario biasa, kaedah ini merupakan pendekatan yang baik untuk kita menyelidiki dan memahami tingkah-laku norma berkaitan fenomena tersebut. Namun, ianya bukankan kaedah yang sesuai apabila kita berhadapan dengan peristiwa luar jangka yang bersifat ekstrem. Bagi mengatasi kelemahan ini, kaedah EVA merupakan suatu pendekatan statistik khusus yang memfokuskan kepada tingkah-laku peristiwa-peristiwa jarang berlaku dengan nilai data cerapan maksimum ataupun minimum yang luar biasa.

Kajian berkenaan EVA ini boleh dikatakan diselidiki secara formal bermula pada sekitar awal abad ke-20. Beberapa tokoh-tokoh penting yang menjadi pelopor utama dalam membangunkan asas matematik bagi kaedah EVA ini ialah ahli matematik Perancis iaitu Maurice Fréchet, ahli-ahli statistik Britain iaitu Ronald Fisher dan Leonard Tippett, dan juga ahli matematik Rusia iaitu Boris Gnedenko. Fréchet merupakan penyelidik yang paling awal yang telah berjaya mengusulkan taburan pengehad bagi nilai-nilai ekstrem yang kini kita kenali sebagai taburan kebarangkalian Fréchet. Seterusnya, Fisher dan Tippett telah berjaya menemui tiga bentuk formula matematik berasimptot terhadap nilai-nilai maksimum bagi suatu sampel cerapan yang besar. Penemuan tersebut dibuktikan oleh Gnedenko menerusi teorem Fisher–Tippett–Gnedenko. Secara ringkasnya, penemuan-penemuan tersebut membawa kepada usulan tiga bentuk taburan kebarangkalian utama untuk pemodelan nilai-nilai ekstrem, iaitu taburan Fréchet, Gumbel, dan Weibull yang telah diintegrasikan dalam satu bentuk model matematik umum yang dikenali sebagai taburan Nilai Ekstrem Teritlak (GEV). Ketiga-tiga taburan tersebut menghuraikan fenomena yang berbeza bagi peristiwa ekstrem menerusi tingkah laku ekor (tail behavior) dan had nilai atas (upper bound) yang diungkap menerusi parameter bentuk (lihat Rajah 1). Sehingga kini taburan GEV telah digunakan dalam pelbagai bidang untuk tujuan peramalan dan pengukuran risiko bagi peristiwa-peristiwa luar jangka yang bersifat ekstrem seperti banjir besar, gempa bumi, ribut taufan, kejatuhan pasaran saham, tuntutan insuran besar, jangka hayat bahan-bahan kejuruteraan, dan lain-lain.

**Rajah 1. Illustrasi ringkas tiga jenis sub-bentuk taburan GEV.**
**Nota: Imej dihasilkan menggunakan Google Gemini**

Namun model GEV mempunyai satu kelemahan yang besar, iaitu ianya menggunakan pendekatan nilai maksimum per blok (block maxima) untuk mencerap nilai-nilai data ekstrem. Sebagai contoh, dalam tempoh setahun, kaedah ini hanya mengambil satu cerapan dengan nilai amaun hujan tertinggi untuk digunakan sebagai perwakilan hujan ekstrem dalam tempoh (blok) tersebut. Keadaan ini menjadikan model GEV memerlukan data untuk tempoh yang sangat panjang bagi membolehkannya digunakan dalam aplikasi dunia nyata. Malah pemilihan satu nilai tunggal maksimum ini juga menyebabkan sebahagian besar data yang mempunyai ciri-ciri nilai ekstrem telah diabaikan. Bagi mengatasi permasalah ini, pada tahun 1975, ahli matematik Amerika iaitu James Pickands telah berjaya membangunkan pendekatan baharu dalam EVA yang mengusulkan taburan Pareto teritlak (GPD) sebagai taburan pengehad bagi nilai-nilai ekstrem yang melebihi suatu parameter ambang (peaks-over-threshold (POT)) (lihat Rajah 2). Pendekatan POT dan model GPD ini menjadikan analisis nilai ekstrem lebih fleksibel dan lebih mudah untuk diaplikasi dalam kebanyakan senario dunia nyata. Malah, taburan GEV dan GPD sebenarnya saling berkait dan ianya telah dibuktikan menerusi teorem Pickands-Balkema-de Haan. Iaitu jika nilai-nilai ekstrem secara asimptot mengikuti taburan GEV, maka nilai-nilai cerapan yang dikesan melebihi suatu nilai ambang (nilai ambang yang cukup tinggi) akan mengikuti taburan GPD (Reiss & Thomas, 2007).

**Rajah 2. Illustrasi ringkas berkenaan taburan Pareto teritlak.**
**Nota: Imej dihasilkan menggunakan Google Gemini.**

Bagaimana Teori Nilai Ekstrem Membantu Mengurus Risiko?

Teori dan konsep matematik dalam EVA mungkin agak berat untuk difahami jika kita tidak mempunyai pendedahan yang kukuh dalam disiplin ilmu statistik. Namun, dari segi aplikasinya, berbantukan teknologi perkomputeran pada masa kini, ianya tidaklah terlalu sukar untuk digunakan sebagai suatu alat pengukuran risiko terutama melibatkan ukuran tahap ulangan (return level) dan tempoh ulangan (return period). Sebagai contoh, dalam reka bentuk kejuruteraan dan ketahanan infrastruktur seperti pembinaan empangan, EVA boleh digunakan sebagai ukuran asas ukuran risiko bagi tujuan untuk membantu jurutera untuk mereka bentuk empangan yang akan bertahan dalam senario terburuk (Nadarajah & Kwofie, 2024). Ini kerana, pembinaan suatu empangan perlulah direka bentuk dengan jangkaan ianya mampu untuk menahan takungan air pada tahap beban maksimum yang boleh ditanggung oleh struktur empangan tersebut dengan mempertimbangkan impak tempoh ulangan tertentu yang mungkin berlaku pada tahap ulangan aras air yang paling kritikal. Manakala, dalam sektor kewangan pelaburan pula, EVA boleh digunakan oleh pengalisis kewangan untuk menganggar jumlah modal minimum, rizab kecemasan, dan tahap kecairan yang perlu disediakan bagi sesuatu institusi untuk berhadapan dengan masalah kemelesatan atau kejutan ekonomi yang kritikal. Maklumat dari EVA boleh membantu untuk mengurangkan risiko kegagalan sistemik institusi jika krisis besar benar-benar berlaku (Aljadani, 2024).

**Rajah 3. Illustrasi aplikasi EVA dalam permasalahan dunia nyata.**
**Nota: Imej dihasilkan menggunakan Google Gemini**

Teori Nilai Ekstrem dalam Era Data Raya dan AI

Kini, kita hidup dalam era data raya. Pada setiap masa, berbilion-bilion data mudah sahaja dapat dijana daripada pelbagai teknologi seperti telefon pintar, satelit, media sosial, transaksi kewangan, dan pelbagai sistem digital. Selari dengan itu, penciptaan pelbagai teknologi AI juga telah juga banyak membantu dan memudahkan kita untuk menganalisis dan memahami corak yang kompleks dalam data terutama bagi tujuan menghasilkan peramalan yang tepat. Namun, di sebalik kelebihan-kelebihan ini, cabaran untuk memahami dan meramal peristiwa-peristiwa yang jarang berlaku masih menjadi isu besar yang sukar untuk ditangani. Ini kerana, walaupun model-model AI dilatih menggunakan data yang besar, namun data latihan umumnya hanya akan menangkap senario keadaan norma bagi membolehkan AI bertindak mengikut kebiasaan yang wajar. Namun, masalah akan timbul apabila model AI tersebut berhadapan dengan kejadian yang hampir tidak pernah wujud dalam data latihan. Bagi mengatasi permasalah ini, pendekatan EVA memberikan asas statistik yang kukuh untuk membantu model AI membuat ekstrapolasi dan penaakulan terhadap kawasan-kawasan data yang memiliki ciri-ciri isyarat-lemah dan ekor-tebal (weak signals & heavy tails) yang boleh dianggap sebagai sumber risiko terbesar yang mencerminkan peristiwa luar jangka yang mungkin boleh terjadi (Clémençon & Sabourin, 2026).

Secara kesimpulannya, dunia hari ini yang penuh dengan pelbagai kemungkinan untuk kejadian peristiwa yang tak terduga terutama berkaitan bencana alam sekitar akibat kesan perubahan iklim, ataupun ketidaktentuan ekonomi akibat dari ketakstabilan geo-politik dunia, dan lain-lain risiko sistemik. Mahu tidak mahu, kehidupan kita masih perlu diteruskan seperti biasa. Namun, suatu pelan tindakan yang berhemah perlulah dirangka dari semasa ke semasa untuk mengurangkan atau lebih baik jika dapat mengelak dari impak kerugian bencana yang mungkin akan berlaku dari peristiwa luar jangka. Sesuai dengan ungkapan, “sediakanlah payung sebelum hujan”.

Rujukan:

Aljadani, A. (2024). Assessing financial risk with extreme value theory: US financial indemnity loss data analysis. Alexandria Engineering Journal, 105, 496-507.

Clémençon, S., & Sabourin, A. (2026). Weak signals and heavy tails: learning theory meets extreme value analysis. Extremes, 1-43.

Nadarajah, S., & Kwofie, C. (2024). An extreme value analysis of water levels at the Akosombo dam, Ghana. Heliyon, 10(14).

Reiss, R.-D., & Thomas, M. (2007). Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology and Other Fields. Springer

Berikan Komen Anda Di Sini